Какой номер у наименьшего члена последовательности yn = 4n2 − 19n + 9? Номер наименьшего члена последовательности равен

Чтобы найти номер $n$ наименьшего члена последовательности $y_n=4n^2-19n+9$, нам нужно решить уравнение $y_n=4n^2-19n+9=min(y_n)$.

Для удобства, давайте обозначим минимальное значение последовательности как $y_{\text{min}}$. Тогда уравнение будет иметь вид $4n^2-19n+9=y_{\text{min}}$.

Для нахождения значения $n$, используем квадратное уравнение. Приведем уравнение к стандартному виду $a{n}^2+bn+c=0$.

В нашем случае $a=4$, $b=-19$, $c=9-y_{\text{min}}$.

Применим квадратную формулу для решения уравнения: $n=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Раскроем скобки и подставим значения $a$, $b$ и $c$ в формулу:

$$n=\frac{-(-19)\pm \sqrt{(-19{)}^2-4\cdot 4\cdot (9-y_{\text{min}})}}{2\cdot 4}$$.

Далее упрощаем выражение:

$$n=\frac{19\pm \sqrt{361-16(9-y_{\text{min}})}}{8}$$.

Продолжим упрощение:

$$n=\frac{19\pm \sqrt{361-144+16y_{\text{min}}}}{8}$$.

$$n=\frac{19\pm \sqrt{217+16y_{\text{min}}}}{8}$$.

Теперь, чтобы определить номер наименьшего члена последовательности, нам нужно выбрать положительное значение из решений $n$, так как номер последовательности не может быть отрицательным.

Значение по формуле с минусом можно считать "ответвлением" или "реверсом". Нам подходит положительное значение:

$$n=\frac{19+\sqrt{217+16y_{\text{min}}}}{8}$$.

Теперь нам остается только определить значение наименьшего члена последовательности. Для этого подставим $n$ обратно в исходное уравнение $y_n=4n^2-19n+9$:

$$y_{\text{min}}=4{\left(\frac{19+\sqrt{217+16y_{\text{min}}}}{8}\right)}^2-19\left(\frac{19+\sqrt{217+16y_{\text{min}}}}{8}\right)+9$$.

После всех этих вычислений, значение $y_{\text{min}}$ можно получить, решив получившееся уравнение второй степени. К сожалению, для этого уравнения сложно получить явное аналитическое решение. Мы можем получить приближенное значение $y_{\text{min}}$ с помощью численного метода, например, метода половинного деления или метода Ньютона.

Подставьте найденные значения в уравнение и вычислите численно или воспользуйтесь программой или калькулятором для получения окончательного ответа.