Какой номер у наименьшего члена последовательности yn = 4n2 − 19n + 9? Номер наименьшего члена последовательности равен

Чтобы найти номер \(n\) наименьшего члена последовательности \(y_n = 4n^2 - 19n + 9\), нам нужно решить уравнение \(y_n = 4n^2 - 19n + 9 = \min(y_n)\).

Для удобства, давайте обозначим минимальное значение последовательности как \(y_{\text{min}}\). Тогда уравнение будет иметь вид \(4n^2 - 19n + 9 = y_{\text{min}}\).

Для нахождения значения \(n\), используем квадратное уравнение. Приведем уравнение к стандартному виду \(an^2 + bn + c = 0\).

В нашем случае \(a = 4\), \(b = -19\), \(c = 9 - y_{\text{min}}\).

Применим квадратную формулу для решения уравнения: \(n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

Раскроем скобки и подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу:

\[n = \frac{-(-19) \pm \sqrt{(-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (9 - y_{\text{min}})}}{2 \cdot 4}\].

Далее упрощаем выражение:

\[n = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 16(9 - y_{\text{min}})}}{8}\].

Продолжим упрощение:

\[n = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 144 + 16y_{\text{min}}}}{8}\].

\[n = \frac{19 \pm \sqrt{217 + 16y_{\text{min}}}}{8}\].

Теперь, чтобы определить номер наименьшего члена последовательности, нам нужно выбрать положительное значение из решений \(n\), так как номер последовательности не может быть отрицательным.

Значение по формуле с минусом можно считать "ответвлением" или "реверсом". Нам подходит положительное значение:

\[n = \frac{19 + \sqrt{217 + 16y_{\text{min}}}}{8}\].

Теперь нам остается только определить значение наименьшего члена последовательности. Для этого подставим \(n\) обратно в исходное уравнение \(y_n = 4n^2 - 19n + 9\):

\[y_{\text{min}} = 4\left(\frac{19 + \sqrt{217 + 16y_{\text{min}}}}{8}\right)^2 - 19\left(\frac{19 + \sqrt{217 + 16y_{\text{min}}}}{8}\right) + 9\].

После всех этих вычислений, значение \(y_{\text{min}}\) можно получить, решив получившееся уравнение второй степени. К сожалению, для этого уравнения сложно получить явное аналитическое решение. Мы можем получить приближенное значение \(y_{\text{min}}\) с помощью численного метода, например, метода половинного деления или метода Ньютона.

Подставьте найденные значения в уравнение и вычислите численно или воспользуйтесь программой или калькулятором для получения окончательного ответа.