Какой наименьшей скоростью Vmin должен обладать электрон, чтобы при неупругом столкновении с невозбужденным атомом

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся законом сохранения энергии. При неупругом столкновении электрона с невозбужденным атомом водорода, энергия электрона передается атому, вызывая его возбуждение.

Энергия электрона до столкновения равна его кинетической энергии \( E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m_e V^2 \), где \( m_e \) - масса электрона, \( V \) - скорость электрона.

После столкновения, энергия атома водорода возрастает на величину \( \Delta E \).

Зная, что возникает только одна линия спектра водорода, мы можем заключить, что возбужденное состояние атома является первым возбужденным состоянием (n=2), а исходное состояние атома - основное состояние (n=1).

Спектральная линия, соответствующая переходу электрона с первого возбужденного состояния на основное состояние водородного атома, называется линией Бальмера. Её длина волны вычисляется по формуле:

\[ \lambda = \frac{2 \pi \hbar^2}{m_e e^2} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) \]

где \( \lambda \) - длина волны спектральной линии Бальмера, \( \hbar \) - постоянная Планка, \( e \) - заряд электрона, \( n_2 \) - номер состояния, из которого электрон переходит на основное состояние, равный 2, \( n_1 \) - номер основного состояния, равный 1.

Теперь мы можем выразить изменение энергии атома ( \( \Delta E \)) через длину волны спектральной линии:

\[ \Delta E = \frac{hc}{\lambda} \]

где \( h \) - постоянная Планка, \( c \) - скорость света.

Закон сохранения энергии позволяет нам записать равенство:

\[ E_{\text{кин}} = \Delta E \]

Подставим значения \( E_{\text{кин}} \) и \( \Delta E \) из предыдущих выражений:

\[ \frac{1}{2} m_e V^2 = \frac{hc}{\lambda} \]

Теперь найдем минимальную скорость электрона, при которой возникает только одна линия в спектре водорода. Для этого нужно найти такую скорость \( V_{\text{min}} \), чтобы при подстановке в формулу получалась целочисленное значение длины волны \( \lambda \). Обычно длины волн имеются в табличных материалах.

Итак, задача решается следующим образом:

1. Подставляем \( V = V_{\text{min}} \) в формулу: \( \frac{1}{2} m_e V_{\text{min}}^2 = \frac{hc}{\lambda} \)
2. Находим значение \( V_{\text{min}} \) из этого уравнения.
3. Подставляем полученное значение \( V_{\text{min}} \) в формулу для длины волны и рассчитываем ее значение: \( \lambda = \frac{2 \pi \hbar^2}{m_e e^2} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{1^2} \right) \)

Окончательный ответ - это значение длины волны \( \lambda \). Пожалуйста, укажите значения всех необходимых констант для расчетов.