Какой наибольший общий делитель у двух натуральных чисел, сумма которых равна 2021, а их наименьшее общее кратное равно

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел, сумма которых равна 2021, и их наименьшее общее кратное (НОК) равно 23220, мы можем воспользоваться алгоритмом поиска НОД и НОК через разложение чисел на простые множители.

1. Разложение на множители:
Для начала, разложим число 23220 на простые множители.
\[23220 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 23\]

Теперь, когда мы знаем разложение на множители числа 23220, мы можем использовать его для нахождения НОД и НОК.

2. Нахождение НОК:
НОК двух чисел можно найти, используя максимальные степени простых множителей, встречающихся в этих числах. То есть, взяв максимумы степеней 2, 3, 5, 7 и 23.

Максимальная степень 2 равна 2 (2^2), так как число 2 встречается в разложении числа 23220 в виде 2^2.
Максимальная степень 3 равна 2 (3^2).
Максимальная степень 5 равна 1 (5^1).
Максимальная степень 7 равна 1 (7^1).
Максимальная степень 23 равна 1 (23^1).

Теперь, мы можем умножить эти максимальные степени, чтобы получить НОК:
\[\text{НОК} = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 \times 23^1 = 23220\]

Таким образом, мы видим, что НОК совпадает с данным значением 23220.

3. Нахождение НОД:
Чтобы найти наибольший общий делитель, мы должны рассмотреть общие простые множители двух чисел и взять их минимальные степени. В данном случае, нам также известна их сумма, равная 2021.

Мы знаем, что сумма двух чисел равна 2021 и их НОК равен 23220. Из этих данных, мы можем составить систему уравнений:

\[\begin{align*}
a + b &= 2021 \\
2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 23 &= 23220
\end{align*}\]

Теперь, мы можем решить эту систему уравнений.

Используем первое уравнение чтобы выразить одну переменную через другую:
\[a = 2021 - b\]

Подставляем полученное выражение во второе уравнение:
\[2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 23 = (2021 - b) \times b\]

Упрощаем:
\[4140 = 2021b - b^2\]
\[b^2 - 2021b + 4140 = 0\]

Теперь, решим это квадратное уравнение. Мы можем применить метод разложения на множители или воспользоваться формулой дискриминанта.

Разложение на множители дает следующее:
\[(b - 141)(b - 29) = 0\]

Отсюда, получаем два возможных значения для переменной b: b = 141 или b = 29.

Если b = 141, то по первому уравнению получаем a = 2021 - 141 = 1880.
Если b = 29, то по первому уравнению получаем a = 2021 - 29 = 1992.

Таким образом, возможные пары значений для чисел a и b, удовлетворяющие условию, равны (1880, 141) и (1992, 29).

Теперь найдем НОД этих двух пар чисел, используя алгоритм Евклида или разложение на простые множители:

- Для пары (1880, 141):
\[1880 = 13 \times 5 \times 2^3\]
\[141 = 3 \times 47\]
Общих простых множителей у этих чисел нет, поэтому их НОД равен 1.

- Для пары (1992, 29):
\[1992 = 2^3 \times 3 \times 83\]
\[29 = 29\]
Общих простых множителей у этих чисел нет, поэтому их НОД равен 1.

Таким образом, мы получаем, что наибольший общий делитель (НОД) для двух натуральных чисел, сумма которых равна 2021, а их наименьшее общее кратное (НОК) равно 23220, равен 1.