1. Найдите точку пересечения прямой mn с плоскостью верхнего основания прямой призмы авса1в1с1, где точка m лежит

Для начала решим первую задачу.

1. Найдите точку пересечения прямой mn с плоскостью верхнего основания прямой призмы авса1в1с1, где точка m лежит на ребре аа1, а точка n - на грани сс1вв1.

Для решения этой задачи, нам необходимо знать уравнение плоскости $P$, на который лежит верхнее основание призмы. Затем, мы найдем уравнение прямой $mn$ и подставим его в уравнение плоскости $P$ для нахождения точки пересечения.

Пусть верхнее основание призмы задано точками A, B, C, а прямая mn проходит через точку M на ребре AA1 и точку N на грани CC1V1.

1. Найдем уравнение плоскости $P$, на которой лежит верхнее основание призмы ABC:
Мы знаем, что плоскость может быть задана уравнением $ax+by+cz+d=0$, где (a, b, c) - нормальный вектор плоскости, а d - свободный член.
Чтобы найти нормальный вектор (a, b, c), мы можем использовать векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости ABC (например, $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$).
Учитывая, что A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3), нормальный вектор (a, b, c) можно найти следующим образом:

$$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}x2-x1\\ y2-y1\\ z2-z1\end{array}\right),\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}x3-x1\\ y3-y1\\ z3-z1\end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}(y2-y1)(z3-z1)-(y3-y1)(z2-z1)\\ (z2-z1)(x3-x1)-(x2-x1)(z3-z1)\\ (x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)\end{array}\right)$$

Теперь, чтобы найти свободный член d, мы можем использовать одну из точек на плоскости ABC (например, A), и подставить ее координаты в уравнение плоскости:

$$d=-a{x}_1-b{y}_1-c{z}_1$$

2. Теперь, мы можем записать уравнение прямой mn в параметрической форме, зная координаты двух точек M и N:

$$\overrightarrow{mn}=\overrightarrow{AM}+t\cdot \overrightarrow{MN}$$

где t - параметр, $\overrightarrow{AM}$ - вектор, направленный от точки A к точке M, а $\overrightarrow{MN}$ - вектор, направленный от точки M к точке N.

Мы также можем использовать точку A и направляющий вектор $\overrightarrow{AB}$ для записи уравнения прямой в симметрической форме:

$$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$$

3. Теперь, чтобы найти точку пересечения прямой mn с плоскостью $P$, мы подставим уравнение прямой mn в уравнение плоскости $P$:

$$a(x_1+t\cdot M{N}_x)+b(y_1+t\cdot M{N}_y)+c(z_1+t\cdot M{N}_z)+d=0$$

Решив это уравнение относительно параметра t, мы найдем его значение. Затем, подставим это значение t в уравнение прямой mn, чтобы найти координаты точки пересечения.

Это подробное описание решения первой задачи.
Хотите, чтобы я продолжил с решением второй задачи?