Какой может быть значение корня f(x), если у квадратного трёхчлена один корень и уравнение f(5x+1)+f(6x−3)=0 также

Чтобы найти возможное значение корня \(f(x)\) для заданного уравнения, давайте решим его шаг за шагом.

Итак, у нас есть квадратный трёхчлен, у которого есть один корень. Пусть этот корень равен \(a\). Тогда у нас будет уравнение вида:
\[f(x) = (x - a)(x - b)\]
где \(b\) - другой корень нашего квадратного трёхчлена.

Теперь нам дано второе уравнение \(f(5x+1) + f(6x-3) = 0\), которое также имеет один корень. Воспользуемся этим уравнением, чтобы определить возможное значение корня \(f(x)\).

Подставим \(x = 5x + 1\) в уравнение \(f(x)\) и получим выражение:
\[f(5x+1) = (5x + 1 - a)(5x + 1 - b)\]

Аналогично, подставим \(x = 6x - 3\) в уравнение \(f(x)\) и получим выражение:
\[f(6x-3) = (6x - 3 - a)(6x - 3 - b)\]

Теперь подставим эти выражения во второе уравнение:
\[(5x + 1 - a)(5x + 1 - b) + (6x - 3 - a)(6x - 3 - b) = 0\]

Это квадратное уравнение с двумя неизвестными \(a\) и \(b\). Чтобы его решить, нам потребуется условие на один корень, т.е. дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю.

Вычислим дискриминант:

\[\Delta = (5 - a)(5 - b) + (6 - a)(6 - b)\]

Поскольку у нас только один корень, то \(\Delta = 0\).

Таким образом, у нас есть уравнение \((5 - a)(5 - b) + (6 - a)(6 - b) = 0\) со значениями \(a\) и \(b\), которое гарантирует только один корень для уравнения \(f(x)\).

Это даст нам возможные значения корней \(a\) и \(b\), и тогда мы можем записать \(f(x)\):
\[f(x) = (x - a)(x - b)\]

Давайте решим это уравнение более подробно.