Какова сумма первых пятнадцати членов прогрессии с членами 27, 33 и 39? Какова разность арифметической прогрессии

Давайте начнем с первой задачи о сумме первых пятнадцати членов прогрессии. Мы имеем данное начало прогрессии с членами 27, 33 и 39.

Чтобы найти сумму первых пятнадцати членов прогрессии, нам нужно знать формулу общего члена арифметической прогрессии (ан).

Общий член арифметической прогрессии может быть выражен формулой:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_n\) - n-ый член прогрессии,
\(a_1\) - первый член прогрессии,
\(n\) - номер члена прогрессии,
\(d\) - разность прогрессии.

Для данной прогрессии, нам известны первые три члена: 27, 33 и 39.

Давайте найдем разность прогрессии, используя известные члены:

Выражая разность \(d\) через первые два члена прогрессии, мы получим:
\[d = a_2 - a_1\]
\[d = 33 - 27 = 6\]

Теперь у нас есть начальный член \(a_1 = 27\) и разность прогрессии \(d = 6\).

Чтобы найти сумму первых пятнадцати членов прогрессии, мы можем воспользоваться формулой для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Подставим известные значения:
\[S_{15} = \frac{15}{2}(27 + a_{15})\]

Теперь у нас осталось найти \(a_{15}\). Мы можем использовать формулу общего члена прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Подставим известные значения:
\[a_{15} = 27 + (15-1) \cdot 6\]

Выполним вычисления:
\[a_{15} = 27 + 14 \cdot 6 = 27 + 84 = 111\]

Теперь, зная \(a_{15}\), мы можем вычислить сумму первых пятнадцати членов прогрессии:
\[S_{15} = \frac{15}{2}(27 + 111)\]

Выполним вычисления:
\[S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 138 = 15 \cdot 69 = 1035\]

Таким образом, сумма первых пятнадцати членов прогрессии равна 1035.

Теперь перейдем ко второй задаче о разности арифметической прогрессии.

Известно, что первый член равен 77, а девятнадцатый член равен -76.

Мы можем использовать формулу общего члена прогрессии, чтобы найти разность \(d\):

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Для девятнадцатого члена, \(a_{19}\), у нас есть \(a_{19} = -76\), а \(n = 19\). Подставим эти значения в формулу:

\[-76 = 77 + (19-1)d\]

Выполним вычисления:
\[-76 = 77 + 18d\]
\[18d = -76 - 77\]
\[18d = -153\]
\[d = \frac{-153}{18}\]
\[d = -8.5\]

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна -8.5.

Теперь перейдем к третьей задаче о сумме первых сорока чисел последовательности, заданной формулой \(a_n = 3-2n\).

Для данной последовательности, нам дано, что \(a_n = 3-2n\). Нам нужно найти сумму первых сорока чисел этой последовательности.

Мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

В данном случае, \(a_1\) будет первым членом последовательности, то есть при \(n = 1\).

Подставим известные значения:
\[S_{40} = \frac{40}{2}\left((3-2\cdot1) + (3-2\cdot40)\right)\]

Выполним вычисления:
\[S_{40} = \frac{40}{2}(3-2 + 3-80)\]
\[S_{40} = 20\left(4-77\right)\]
\[S_{40} = 20(-73)\]
\[S_{40} = -1460\]

Таким образом, сумма первых сорока чисел последовательности, заданной формулой \(a_n = 3-2n\), равна -1460.