Какой модуль скорости газов выхода из ракеты, если ее масса без топлива составляет 865 г, она поднимается на высоту

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо применить закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Сначала вычислим изменение импульса ракеты. Импульс ракеты до выстрела равен нулю, поскольку она находится в покое. После выстрела ракеты импульс ракеты должен быть таким же, как и импульс улетевших газов.

Изменение импульса ракеты можно выразить следующей формулой:

\[ \Delta p = m \cdot \Delta v \]

где:
\(\Delta p\) - изменение импульса ракеты,
\(m\) - масса вылетевших газов,
\(\Delta v\) - изменение скорости ракеты.

Теперь рассмотрим закон сохранения энергии.

В начале ракета имеет потенциальную энергию, равную

\[ E_{\text{нач}} = m_{\text{ракета без топлива}} \cdot g \cdot h \]

где:
\( E_{\text{нач}} \) - начальная потенциальная энергия ракеты,
\( m_{\text{ракета без топлива}} \) - масса ракеты без топлива,
\( g \) - ускорение свободного падения (принимаем равным 10 м/с²),
\( h \) - высота подъема ракеты.

И кинетическую энергию топлива ракеты, равную

\[ E_{\text{топливо}} = m_{\text{топлива}} \cdot v_{\text{топлива}}^2 \]

где:
\( E_{\text{топливо}} \) - кинетическая энергия топлива,
\( m_{\text{топлива}} \) - масса топлива,
\( v_{\text{топлива}} \) - скорость вылетевших газов.

В конце ракета имеет только потенциальную энергию, равную

\[ E_{\text{кон}} = m_{\text{ракета без топлива}} \cdot g \cdot (h+\Delta h) \]

где:
\( E_{\text{кон}} \) - конечная потенциальная энергия ракеты,
\( \Delta h \) - изменение высоты ракеты.

Поскольку энергия сохраняется, мы можем записать уравнение:

\[ E_{\text{нач}} + E_{\text{топливо}} = E_{\text{кон}} \]

Заметим, что кинетическая энергия улетевших газов равна 0, так как они становятся неподвижными после того, как покинут ракету.

Теперь, используя полученные уравнения, решим задачу.

1. Найдем изменение импульса ракеты.

\[ \Delta p = m \cdot \Delta v \]

Из закона сохранения импульса, получаем \( \Delta p = -m_{\text{топлива}} \cdot v_{\text{топлива}} \) (знак минус указывает на обратное направление импульса газов, относительно ракеты).

2. Найдем изменение потенциальной энергии ракеты.

\[ E_{\text{нач}} - E_{\text{кон}} = -m_{\text{ракета без топлива}} \cdot g \cdot \Delta h \]

3. Найдем скорость газов выхода из ракеты.

Из уравнения №1: \( \Delta v = \frac{\Delta p}{m} \)

Расставим известные значения: \( \Delta v = -\frac{m_{\text{топлива}} \cdot v_{\text{топлива}}}{m_{\text{ракета без топлива}} + m_{\text{топлива}}} \)

Теперь подставим полученные значения в данное уравнение и решим:

Рассчитаем изменение импульса:

\[ \Delta p = -m_{\text{топлива}} \cdot v_{\text{топлива}} = -56 \cdot v_{\text{топлива}} \]

Затем рассчитаем изменение потенциальной энергии ракеты:

\[ -m_{\text{ракета без топлива}} \cdot g \cdot \Delta h = -865 \cdot 10 \cdot 111 = -959,415 \, Дж \]

Теперь рассчитаем скорость газов выхода из ракеты:

\[ \Delta v = -\frac{m_{\text{топлива}} \cdot v_{\text{топлива}}}{m_{\text{ракета без топлива}} + m_{\text{топлива}}} = -\frac{56 \cdot v_{\text{топлива}}}{865+56} \]

Используя значение \( \Delta v \), полученное из решения задачи, оценим модуль скорости:

\[ | \Delta v | = \frac{56 \cdot | v_{\text{топлива}} |}{865+56} \]

Подставим данные и вычислим:

\[ | \Delta v | = \frac{56 \cdot | v_{\text{топлива}} |}{921} \]

Теперь округлим полученный результат до сотых:

\[ | \Delta v | \approx 0,061 \, \text{м/с} \]

Таким образом, модуль скорости газов выхода из ракеты составляет около 0,061 м/с.