Какой модуль скорости газов выхода из ракеты, если ее масса без топлива составляет 865 г, она поднимается на высоту

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо применить закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Сначала вычислим изменение импульса ракеты. Импульс ракеты до выстрела равен нулю, поскольку она находится в покое. После выстрела ракеты импульс ракеты должен быть таким же, как и импульс улетевших газов.

Изменение импульса ракеты можно выразить следующей формулой:

$$\mathrm{\Delta }p=m\cdot \mathrm{\Delta }v$$

где:
$\mathrm{\Delta }p$ - изменение импульса ракеты,
$m$ - масса вылетевших газов,
$\mathrm{\Delta }v$ - изменение скорости ракеты.

Теперь рассмотрим закон сохранения энергии.

В начале ракета имеет потенциальную энергию, равную

$$E_{\text{нач}}=m_{\text{ракета без топлива}}\cdot g\cdot h$$

где:
$E_{\text{нач}}$ - начальная потенциальная энергия ракеты,
$m_{\text{ракета без топлива}}$ - масса ракеты без топлива,
$g$ - ускорение свободного падения (принимаем равным 10 м/с²),
$h$ - высота подъема ракеты.

И кинетическую энергию топлива ракеты, равную

$$E_{\text{топливо}}=m_{\text{топлива}}\cdot v_{\text{топлива}}^2$$

где:
$E_{\text{топливо}}$ - кинетическая энергия топлива,
$m_{\text{топлива}}$ - масса топлива,
$v_{\text{топлива}}$ - скорость вылетевших газов.

В конце ракета имеет только потенциальную энергию, равную

$$E_{\text{кон}}=m_{\text{ракета без топлива}}\cdot g\cdot (h+\mathrm{\Delta }h)$$

где:
$E_{\text{кон}}$ - конечная потенциальная энергия ракеты,
$\mathrm{\Delta }h$ - изменение высоты ракеты.

Поскольку энергия сохраняется, мы можем записать уравнение:

$$E_{\text{нач}}+E_{\text{топливо}}=E_{\text{кон}}$$

Заметим, что кинетическая энергия улетевших газов равна 0, так как они становятся неподвижными после того, как покинут ракету.

Теперь, используя полученные уравнения, решим задачу.

1. Найдем изменение импульса ракеты.

$$\mathrm{\Delta }p=m\cdot \mathrm{\Delta }v$$

Из закона сохранения импульса, получаем $\mathrm{\Delta }p=-m_{\text{топлива}}\cdot v_{\text{топлива}}$ (знак минус указывает на обратное направление импульса газов, относительно ракеты).

2. Найдем изменение потенциальной энергии ракеты.

$$E_{\text{нач}}-E_{\text{кон}}=-m_{\text{ракета без топлива}}\cdot g\cdot \mathrm{\Delta }h$$

3. Найдем скорость газов выхода из ракеты.

Из уравнения №1: $\mathrm{\Delta }v=\frac{\mathrm{\Delta }p}{m}$

Расставим известные значения: $\mathrm{\Delta }v=-\frac{m_{\text{топлива}}\cdot v_{\text{топлива}}}{m_{\text{ракета без топлива}}+m_{\text{топлива}}}$

Теперь подставим полученные значения в данное уравнение и решим:

Рассчитаем изменение импульса:

$$\mathrm{\Delta }p=-m_{\text{топлива}}\cdot v_{\text{топлива}}=-56\cdot v_{\text{топлива}}$$

Затем рассчитаем изменение потенциальной энергии ракеты:

$$-m_{\text{ракета без топлива}}\cdot g\cdot \mathrm{\Delta }h=-865\cdot 10\cdot 111=-959,415Дж$$

Теперь рассчитаем скорость газов выхода из ракеты:

$$\mathrm{\Delta }v=-\frac{m_{\text{топлива}}\cdot v_{\text{топлива}}}{m_{\text{ракета без топлива}}+m_{\text{топлива}}}=-\frac{56\cdot v_{\text{топлива}}}{865+56}$$

Используя значение $\mathrm{\Delta }v$, полученное из решения задачи, оценим модуль скорости:

$$|\mathrm{\Delta }v|=\frac{56\cdot |v_{\text{топлива}}|}{865+56}$$

Подставим данные и вычислим:

$$|\mathrm{\Delta }v|=\frac{56\cdot |v_{\text{топлива}}|}{921}$$

Теперь округлим полученный результат до сотых:

$$|\mathrm{\Delta }v|\approx 0,061\text{м/с}$$

Таким образом, модуль скорости газов выхода из ракеты составляет около 0,061 м/с.