Какой многочлен третьей степени можно составить имея корни: а) 1,2,-3; b) 0,-1,1; с) -2,1,4; d) -1,2,3?

Хорошо, давайте подробно рассмотрим каждый из вариантов.

а) Для составления многочлена третьей степени с корнями 1, 2 и -3, мы знаем, что многочлен имеет вид:

\[P(x) = a(x - 1)(x - 2)(x + 3),\]

где \(a\) - любое число, которое мы должны определить, чтобы многочлен соответствовал условию.

Давайте раскроем скобки:

\[P(x) = a(x - 1)(x - 2)(x + 3) = a(x^3 + x^2 - 2x - 6x^2 - 6x + 12x + 36).\]

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

\[P(x) = a(x^3 - 5x^2 + 6x + 36).\]

Итак, многочлен третьей степени, у которого корни 1, 2 и -3, имеет вид \(P(x) = a(x^3 - 5x^2 + 6x + 36)\), где \(a\) может быть любым числом.

б) Для составления многочлена третьей степени с корнями 0, -1 и 1, мы можем использовать тот же самый подход. Многочлен будет иметь вид:

\[P(x) = b(x - 0)(x + 1)(x - 1).\]

Раскроем скобки:

\[P(x) = b(x)(x + 1)(x - 1) = b(x^3 - x).\]

Итак, многочлен третьей степени, с корнями 0, -1 и 1, будет иметь вид \(P(x) = b(x^3 - x)\), где \(b\) может быть любым числом.

с) Для составления многочлена третьей степени с корнями -2, 1 и 4, также используем тот же самый метод:

\[P(x) = c(x + 2)(x - 1)(x - 4).\]

Раскроем скобки:

\[P(x) = c(x^3 - 3x^2 - 6x + 8x - 8).\]

Сгруппируем слагаемые:

\[P(x) = c(x^3 - 3x^2 + 2x - 8).\]

Итак, многочлен третьей степени, с корнями -2, 1 и 4, будет иметь вид \(P(x) = c(x^3 - 3x^2 + 2x - 8)\), где \(c\) является любым числом.

d) Наконец, для составления многочлена третьей степени с корнями -1, 2 и 3, мы можем также использовать этот метод:

\[P(x) = d(x + 1)(x - 2)(x - 3).\]

Раскроем скобки:

\[P(x) = d(x^3 - 5x^2 + 4x + 6x - 12).\]

Сгруппируем слагаемые:

\[P(x) = d(x^3 - 5x^2 + 10x - 12).\]

Итак, многочлен третьей степени, с корнями -1, 2 и 3, будет иметь вид \(P(x) = d(x^3 - 5x^2 + 10x - 12)\), где \(d\) может быть любым числом.

Данные многочлены третьей степени с заданными корнями являются ответом на вашу задачу.