Докажите, что средние линии треугольников МАD и МВС параллельны, если точка М лежит вне плоскости параллелограмма ABCD

Чтобы понять, почему средние линии треугольников МАD и МВС параллельны, нужно рассмотреть некоторые свойства параллелограмма и средних линий треугольника.

Для начала, давайте рассмотрим свойства параллелограмма. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны друг другу. Следовательно, сторона AB параллелельна стороне CD и имеет такую же длину, равную 5 см.

Теперь рассмотрим треугольники МАD и МВС. Они оба имеют общую сторону AD, так как точка М лежит вне плоскости параллелограмма ABCD.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Выразим координаты точек середин векторами. Пусть вектор MA имеет координаты \(\vec{a}\), вектор MB — координаты \(\vec{b}\), вектор MD — координаты \(\vec{d}\).

Так как точка М лежит вне плоскости параллелограмма ABCD, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не кратны друг другу и не нулевые. Тогда средняя линия треугольника МАD, соединяющая середину стороны МА с серединой стороны MD, находится посередине между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{d}\) и имеет координаты \(\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}\).

Аналогично, средняя линия треугольника МВС, соединяющая середину стороны МВ с серединой стороны MS, находится посередине между векторами \(\vec{b}\) и \(\vec{e}\) и имеет координаты \(\frac{\vec{b} + \vec{e}}{2}\).

Посмотрим на вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{d}\). Так как точка М лежит вне плоскости параллелограмма ABCD, а векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{d}\) не кратны друг другу и не нулевые, они образуют несовпадающие прямые. Аналогично, векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{e}\) образуют несовпадающие прямые.

По свойству двух параллельных прямых, параллелями будут их направляющие векторы. То есть \(\vec{a}\) и \(\vec{d}\) являются параллельными, и \(\vec{b}\) и \(\vec{e}\) являются параллельными.

Зная это, мы можем заключить, что средние линии треугольников МАD и МВС, имея координаты \(\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}\) и \(\frac{\vec{b} + \vec{e}}{2}\) соответственно, будут параллельными.