Какой многочлен 3-й степени имеет следующие корни: 2)0,-1,1; 4)-1,2,3?

Для решения этой задачи мы можем использовать метод факторизации многочленов или так называемый метод интерполяции. Давайте рассмотрим оба варианта.

Метод факторизации многочленов основывается на том, что если \(a\) - корень многочлена, то \((x-a)\) является одним из множителей этого многочлена. Таким образом, чтобы найти многочлен третьей степени с данными корнями, мы можем выразить его в виде произведения множителей, где каждый множитель будет равен \((x-a)\), где \(a\) - один из корней.

Таким образом, для корней 0, -1 и 1 мы можем записать многочлен третьей степени в следующем виде:
\[
P(x) = (x-0)(x-(-1))(x-1)
\]

Мы можем упростить это выражение:
\[
P(x) = x(x+1)(x-1)
\]

Теперь, чтобы найти многочлен третьей степени с корнями -1, 2 и 3, мы можем записать его в виде:
\[
Q(x) = (x+1)(x-2)(x-3)
\]

Теперь у нас есть два многочлена третьей степени, соответствующих данным корням.

Если требуется найти коэффициенты многочлена, мы можем выполнить раскрытие скобок для каждого выражения и соответствующего упрощения. Однако, поскольку вам важна максимальная подробность, я расскажу подробнее о другом методе - методе интерполяции.

Метод интерполяции основывается на идее, что через \(n+1\) точек, где \(n\) - степень многочлена, проходит только один многочлен этой степени. Используя это свойство, мы можем построить систему уравнений, где каждое уравнение будет соответствовать одному из данного набора корней.

Для данных корней 0, -1 и 1 мы можем записать систему уравнений в следующем виде:
\[
\begin{align*}
P(0) &= 0 \\
P(-1) &= 0 \\
P(1) &= 0 \\
\end{align*}
\]

А для корней -1, 2 и 3:
\[
\begin{align*}
Q(-1) &= 0 \\
Q(2) &= 0 \\
Q(3) &= 0 \\
\end{align*}
\]

Теперь, решим эти системы уравнений, чтобы найти значения коэффициентов многочленов \(P\) и \(Q\).

Для первой системы уравнений получаем:
\[
\begin{align*}
P(0) &= a_0(0-0)(0-(-1))(0-1) \\
&= a_0 \cdot 0 \cdot 1 \cdot (-1) \\
&= 0
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
P(-1) &= a_0(-1-0)(-1-(-1))(-1-1) \\
&= a_0 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot (-2) \\
&= 2a_0
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
P(1) &= a_0(1-0)(1-(-1))(1-1) \\
&= a_0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 0 \\
&= 0
\end{align*}
\]

Из этих уравнений следует, что \(P(x)\) - это многочлен вида \(P(x) = 2a_0x\).

Аналогично, для второй системы уравнений:
\[
\begin{align*}
Q(-1) &= b_0(-1-(-1))(-1-2)(-1-3) \\
&= b_0 \cdot 0 \cdot (-3) \cdot (-4) \\
&= 0
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
Q(2) &= b_0(2-(-1))(2-2)(2-3) \\
&= b_0 \cdot 3 \cdot 0 \cdot (-1) \\
&= 0
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
Q(3) &= b_0(3-(-1))(3-2)(3-3) \\
&= b_0 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 0 \\
&= 0
\end{align*}
\]

Из этих уравнений следует, что \(Q(x)\) - это многочлен вида \(Q(x) = 12b_0(x-2)\).

Таким образом, многочлен третьей степени с данными корнями записывается следующим образом:
\[
P(x) = 2a_0x
\]
\[
Q(x) = 12b_0(x-2)
\]

Я надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять решение этой задачи.