Какой многочлен 3-й степени имеет следующие корни: 2)0,-1,1; 4)-1,2,3?

Для решения этой задачи мы можем использовать метод факторизации многочленов или так называемый метод интерполяции. Давайте рассмотрим оба варианта.

Метод факторизации многочленов основывается на том, что если $a$ - корень многочлена, то $(x-a)$ является одним из множителей этого многочлена. Таким образом, чтобы найти многочлен третьей степени с данными корнями, мы можем выразить его в виде произведения множителей, где каждый множитель будет равен $(x-a)$, где $a$ - один из корней.

Таким образом, для корней 0, -1 и 1 мы можем записать многочлен третьей степени в следующем виде:
$$P(x)=(x-0)(x-(-1))(x-1)$$

Мы можем упростить это выражение:
$$P(x)=x(x+1)(x-1)$$

Теперь, чтобы найти многочлен третьей степени с корнями -1, 2 и 3, мы можем записать его в виде:
$$Q(x)=(x+1)(x-2)(x-3)$$

Теперь у нас есть два многочлена третьей степени, соответствующих данным корням.

Если требуется найти коэффициенты многочлена, мы можем выполнить раскрытие скобок для каждого выражения и соответствующего упрощения. Однако, поскольку вам важна максимальная подробность, я расскажу подробнее о другом методе - методе интерполяции.

Метод интерполяции основывается на идее, что через $n+1$ точек, где $n$ - степень многочлена, проходит только один многочлен этой степени. Используя это свойство, мы можем построить систему уравнений, где каждое уравнение будет соответствовать одному из данного набора корней.

Для данных корней 0, -1 и 1 мы можем записать систему уравнений в следующем виде:
$$\begin{array}{rl}P(0)& =0\\ P(-1)& =0\\ P(1)& =0\end{array}$$

А для корней -1, 2 и 3:
$$\begin{array}{rl}Q(-1)& =0\\ Q(2)& =0\\ Q(3)& =0\end{array}$$

Теперь, решим эти системы уравнений, чтобы найти значения коэффициентов многочленов $P$ и $Q$.

Для первой системы уравнений получаем:
$$\begin{array}{rl}P(0)& =a_0(0-0)(0-(-1))(0-1)\\ & =a_0\cdot 0\cdot 1\cdot (-1)\\ & =0\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}P(-1)& =a_0(-1-0)(-1-(-1))(-1-1)\\ & =a_0\cdot (-1)\cdot 1\cdot (-2)\\ & =2a_0\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}P(1)& =a_0(1-0)(1-(-1))(1-1)\\ & =a_0\cdot 1\cdot 2\cdot 0\\ & =0\end{array}$$

Из этих уравнений следует, что $P(x)$ - это многочлен вида $P(x)=2a_{0}x$.

Аналогично, для второй системы уравнений:
$$\begin{array}{rl}Q(-1)& =b_0(-1-(-1))(-1-2)(-1-3)\\ & =b_0\cdot 0\cdot (-3)\cdot (-4)\\ & =0\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}Q(2)& =b_0(2-(-1))(2-2)(2-3)\\ & =b_0\cdot 3\cdot 0\cdot (-1)\\ & =0\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}Q(3)& =b_0(3-(-1))(3-2)(3-3)\\ & =b_0\cdot 4\cdot 1\cdot 0\\ & =0\end{array}$$

Из этих уравнений следует, что $Q(x)$ - это многочлен вида $Q(x)=12b_0(x-2)$.

Таким образом, многочлен третьей степени с данными корнями записывается следующим образом:
$$P(x)=2a_{0}x$$
$$Q(x)=12b_0(x-2)$$

Я надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять решение этой задачи.