Какой метод можно использовать для обнаружения экстремума в функции двух переменных z=f(x, y), где z=x^3+y^3-3xy?

Для обнаружения экстремума в функции двух переменных необходимо применить метод частных производных. Давайте решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем частные производные функции f(x, y) по переменным x и y. Чтобы найти частную производную функции по переменной x, необходимо взять производную функции по x, считая y константой, и наоборот.

Для нашей функции \(z=f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy\) частная производная по x обозначается как \(f_x\) и частная производная по y обозначается как \(f_y\). Выпишем их:

\[f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y\]
\[f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x\]

Шаг 2: Решим систему уравнений \(f_x = 0\) и \(f_y = 0\) для нахождения стационарных точек функции, где экстремумы могут находиться. Это делается путем приравнивания каждой частной производной к нулю и решения полученной системы уравнений.

Для \(f_x = 0\):
\[3x^2 - 3y = 0\]
\[3x^2 = 3y\]
\[x^2 = y\]

Для \(f_y = 0\):
\[3y^2 - 3x = 0\]
\[y^2 = x\]

Мы получили два уравнения, \(x^2 = y\) и \(y^2 = x\), которые представляют собой систему уравнений для стационарных точек этой функции.

Шаг 3: Найдем значения переменных x и y, подставив уравнения \(x^2 = y\) и \(y^2 = x\) в исходную функцию \(z=f(x,y)\). Это позволит нам найти значения z в стационарных точках.

Подставим \(x^2 = y\) в функцию z:
\[z = x^3 + (x^2)^3 - 3x(x^2)\]
\[z = x^3 + x^6 - 3x^3\]
\[z = -2x^3 + x^6\]

Подставим \(y^2 = x\) в функцию z:
\[z = (y^2)^3 + y^3 - 3y(y^2)\]
\[z = y^6 + y^3 - 3y^3\]
\[z = y^6 - 2y^3\]

Таким образом, мы получили две функции, связанные с переменными x и y, в стационарных точках.

Шаг 4: Найдем значения переменных x и y, при которых частные производные нулевые и значения функции z.

Решением системы уравнений \(x^2 = y\) и \(y^2 = x\) являются две точки: (0, 0) и (1, 1).

Подставим эти точки в функции z:

Для (0, 0):
\[z = -2(0)^3 + (0)^6 = 0\]

Для (1, 1):
\[z = -2(1)^3 + (1)^6 = -1\]

Таким образом, стационарные точки (0, 0) и (1, 1) соответствуют значениям функции z равными 0 и -1 соответственно.

Шаг 5: Исследуем экстремумы, найденные в предыдущем шаге, с помощью вторых производных функции z. Если производные второго порядка будут положительными, то это будет указывать на наличие локального минимума в точке, а если производные будут отрицательными, то в точке будет локальный максимум. Если вторые производные в точке равны нулю или не существуют, то метод не дает однозначного ответа и требуется использование других методов.

Вычислим вторые частные производные функции \(z=f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy\) по переменным x и y:

Частная производная второго порядка по x дважды:
\[f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x\]

Частная производная второго порядка по y дважды:
\[f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y\]

Частная производная второго порядка по x и y:
\[f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -3\]

Шаг 6: Подставим значения точек (0, 0) и (1, 1) во вторые производные функции z для анализа экстремумов.

Для (0, 0):
\[f_{xx}(0) = 6(0) = 0\]
\[f_{yy}(0) = 6(0) = 0\]
\[f_{xy}(0) = -3\]

Для (1, 1):
\[f_{xx}(1) = 6(1) = 6\]
\[f_{yy}(1) = 6(1) = 6\]
\[f_{xy}(1) = -3\]

Таким образом, для точки (0, 0) значения вторых производных равны нулю, и метод не дает однозначного ответа о наличии экстремума в этой точке. Для точки (1, 1) значения вторых производных положительны, что указывает на наличие локального минимума в этой точке.

В итоге, мы применили метод частных производных и найден локальный минимум функции z=f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy в точке (1, 1). Остальные точки, включая (0, 0), не являются экстремумами.