Какой интервал является решением неравенства (x-6) (x-5) (x-3)?

Для того чтобы найти интервалы, являющиеся решениями данного неравенства \((x-6) (x-5) (x-3) > 0\), нам нужно использовать метод интервалов знакопостоянства. Давайте разобьем число \(x\) на четыре интервала, которые определяются точками \(x = -\infty\), \(x = 3\), \(x = 5\) и \(x = 6\), и проанализируем знак произведения \((x-6) (x-5) (x-3)\) в каждом из этих интервалов.

1. Интервал \((-\infty, 3)\):
Давайте возьмем произвольное число из этого интервала, например, \(x = 0\). Тогда мы можем вычислить значение произведения: \((0-6) (0-5) (0-3) = (-6) (-5) (-3) = 90\). Заметим, что при подстановке любого числа из интервала \((-\infty, 3)\) в неравенство, мы получим положительное число. Следовательно, интервал \((-\infty, 3)\) является решением неравенства.

2. Интервал \((3, 5)\):
Для этого интервала, давайте возьмем \(x = 4\). Вычисляем значение произведения: \((4-6) (4-5) (4-3) = (-2) (-1) (1) = 2\). Снова мы видим, что произведение положительно для любого числа из интервала \((3, 5)\). Следовательно, этот интервал также является решением неравенства.

3. Интервал \((5, 6)\):
Давайте возьмем \(x = 5.5\) для проверки этого интервала. Вычисляем значение произведения: \((5.5-6) (5.5-5) (5.5-3) = (-0.5) (0.5) (2.5) = -0.625\). Здесь мы видим, что произведение отрицательно для любого числа из интервала \((5, 6)\). Следовательно, этот интервал не является решением неравенства.

4. Интервал \((6, +\infty)\):
Возьмем \(x = 7\) для проверки этого интервала. Вычисляем значение произведения: \((7-6) (7-5) (7-3) = (1) (2) (4) = 8\). Здесь мы видим, что произведение положительно для любого числа из интервала \((6, +\infty)\). Следовательно, этот интервал также является решением неравенства.

Итак, решение данного неравенства \((x-6) (x-5) (x-3) > 0\) представляет собой объединение двух интервалов: \((-\infty, 3)\) и \((6, +\infty)\). Мы можем записать это с использованием математической записи интервалов: \(-\infty < x < 3\) или \(x > 6\).