Каковы мгновенная скорость и средняя скорость движения точки в заданный промежуток времени? Точка движется по прямой

Для вычисления мгновенной и средней скорости движения точки на заданном промежутке времени, мы должны использовать предоставленный закон движения точки s = 5t^2 - 4t + 4, где s - это длина пути в метрах, а t - время в секундах.

Мгновенная скорость - это скорость точки в конкретный момент времени. Мы можем найти ее, найдя производную функции пути по времени и подставив значение времени t = 2c.

Для начала, найдем производную функции пути s по времени t:

\[
v(t) = \frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d(5t^2 - 4t + 4)}}{{dt}}
\]

Для этого нам нужно взять производную каждого слагаемого этой функции:

\[
v(t) = \frac{{d(5t^2)}}{{dt}} - \frac{{d(4t)}}{{dt}} + \frac{{d(4)}}{{dt}}
\]

\[
v(t) = 10t - 4
\]

Теперь, чтобы найти мгновенную скорость v при t = 2c, мы подставим значение t = 2 в полученную производную:

\[
v(2) = 10 \cdot 2 - 4 = 20 - 4 = 16 \, \text{м/с}
\]

Таким образом, мгновенная скорость точки в момент времени t = 2с составляет 16 метров в секунду.

Средняя скорость - это отношение общего пройденного пути к общему затраченному времени. Для нахождения средней скорости на промежутке времени от t = 2c до t1 = 2, мы вычислим разность функции пути s между этими двумя значениями времени и поделим на разность времени:

\[
\text{Средняя скорость} = \frac{{s(t1) - s(t)}}{{t1 - t}}
\]

\[
\text{Средняя скорость} = \frac{{5t1^2 - 4t1 + 4 - (5t^2 - 4t + 4)}}{{t1 - t}}
\]

Подставим значения t = 2c и t1 = 2:

\[
\text{Средняя скорость} = \frac{{5 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 4 - (5 \cdot (2c)^2 - 4 \cdot (2c) + 4)}}{{2 - 2c}}
\]

\[
\text{Средняя скорость} = \frac{{20 - 8 + 4 - (20c^2 - 8c + 4)}}{{2 - 2c}}
\]

\[
\text{Средняя скорость} = \frac{{20 - 8 + 4 - 20c^2 + 8c - 4}}{{2 - 2c}}
\]

\[
\text{Средняя скорость} = \frac{{-20c^2 + 8c + 12}}{{2 - 2c}}
\]

Таким образом, мы получили выражение для средней скорости точки на заданном промежутке времени от t = 2c до t1 = 2, которое составляет \(\frac{{-20c^2 + 8c + 12}}{{2 - 2c}}\) метров в секунду.