Какой другой корень имеет уравнение 5х в квадрате + bх + 24=0, если один из корней равен 8? Найдите также коэффициент

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой Виета, которая устанавливает связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Согласно этой теореме, сумма корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a}\).

В заданном уравнении \(5x^2 + bx + 24 = 0\) у нас уже известно, что один из корней равен 8. Пусть второй корень равен \(x_2\).

Сумма корней данного уравнения равна \(-\frac{b}{5}\). Известно, что один из корней равен 8, поэтому сумма корней равна 8 + \(x_2\):

\[8 + x_2 = -\frac{b}{5}\]

Теперь найдем произведение корней. Оно равно \(\frac{24}{5}\) по теореме Виета. Произведение корней равно произведению 8 на \(x_2\):

\[8x_2 = \frac{24}{5}\]

Теперь мы имеем две уравнения:

\[8 + x_2 = -\frac{b}{5}\]

\[8x_2 = \frac{24}{5}\]

Давайте решим эти уравнения поочередно.

Из первого уравнения найдем \(x_2\):

\[x_2 = -\frac{b}{5} - 8\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[8 \left(-\frac{b}{5} - 8\right) = \frac{24}{5}\]

Решим это уравнение:

\[-\frac{8b}{5} - 64 = \frac{24}{5}\]

Перенесем все константы в одну сторону:

\[-\frac{8b}{5} = \frac{24}{5} + 64\]

\[-\frac{8b}{5} = \frac{24 + 320}{5}\]

\[-\frac{8b}{5} = \frac{344}{5}\]

Теперь очистим уравнение от знаменателя:

\[-8b = 344\]

Найдем значение \(b\):

\[b = \frac{344}{-8}\]

Выполним деление:

\[b = -43\]

Таким образом, второй корень уравнения \(5x^2 + bx + 24 = 0\) равен \(-\frac{43}{5}\), а коэффициент \(b\) равен \(-43\).