Какой должен быть заряд в центре окружности, чтобы система осталась в равновесии, если на окружности равномерно

Для решения данной задачи, нам потребуется применить принцип суперпозиции.

Предположим, что в центре окружности имеется положительный заряд Q. Тогда каждый из n отрицательных зарядов будет оказывать на него кулоновскую силу \(F = \frac{kqQ}{r^2}\), где k - постоянная Кулонa, q - модуль заряда, r - радиус окружности. По закону сохранения энергии, суммарная работа, совершаемая всеми отрицательными зарядами при перемещении положительного заряда из бесконечности в центр окружности, должна быть равна нулю. То есть:

\[
\sum{W} = 0
\]

С учетом этого, суммируя силы \(F\) от каждого заряда и используя свойство скалярного произведения работ \(W = F \cdot \Delta x\), где \(\Delta x\) - перемещение заряда, получаем:

\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{kq(-q)}{r^2} \cdot \Delta x_i = 0
\]

Так как расстояния каждого заряда до центра окружности одинаковы и пропорциональны радиусу окружности, то \(\Delta x_i\) можно заменить на \(r \cdot d\), где d - угловая позиция заряда.

\[
\sum_{i=1}^{n}\frac{kq(-q) \cdot r \cdot d_i}{r^2} = 0
\]

Упрощая данное выражение, получаем:

\[
\sum_{i=1}^{n} (-q) \cdot d_i = 0
\]

Так как \(\sum_{i=1}^{n}d_i = 2\pi\) (сумма всех угловых позиций равна \(2\pi\)), то:

\[
(-q) \cdot 2\pi = 0
\]

Отсюда можно выразить заряд в центре окружности:

\[
q = 0
\]

Таким образом, чтобы система осталась в равновесии, заряд в центре окружности должен быть равен нулю при любом количестве отрицательных зарядов.