Какой должен быть ток в первом витке, чтобы магнитное поле в точке на оси витков, на равном расстоянии от их центров

Для решения этой задачи, нам нужно учитывать закон Био-Савара-Лапласа, который позволяет нам вычислить магнитное поле создаваемое витком с током.

Пусть у нас есть два витка с током, и нам необходимо найти такое значение тока в первом витке, чтобы магнитное поле в точке на оси витков, на равном расстоянии от их центров, было равно нулю.

Рассмотрим первый виток. Пусть \(I_1\) - это ток в первом витке, \(r\) - радиус витка, а \(d\) - расстояние от центра первого витка до точки на оси, где мы хотим получить магнитное поле равное нулю.

Из закона Био-Савара-Лапласа, мы можем вычислить магнитное поле в точке на оси от первого витка:

\[B_1 = \frac{{\mu_0 \cdot I_1 \cdot r^2}}{{2 \cdot (r^2 + d^2)^{\frac{3}{2}}}}\]

где \(\mu_0\) - магнитная постоянная.

Теперь, рассмотрим второй виток. Пусть \(I_2\) - это ток во втором витке. Расстояние от центра второго витка до той же точки на оси также равно \(d\).

Магнитное поле от второго витка в точке на оси:

\[B_2 = \frac{{\mu_0 \cdot I_2 \cdot r^2}}{{2 \cdot (r^2 + d^2)^{\frac{3}{2}}}}\]

Теперь, чтобы магнитное поле в этой точке было равно нулю, сумма магнитных полей от обоих витков в этой точке должны быть равными нулю:

\[B_1 + B_2 = 0\]

Подставим значения магнитных полей из формул выше:

\[\frac{{\mu_0 \cdot I_1 \cdot r^2}}{{2 \cdot (r^2 + d^2)^{\frac{3}{2}}}} + \frac{{\mu_0 \cdot I_2 \cdot r^2}}{{2 \cdot (r^2 + d^2)^{\frac{3}{2}}}} = 0\]

Теперь, мы можем упростить это выражение, разделив на \(\mu_0 \cdot r^2\):

\[\frac{{I_1}}{{(r^2 + d^2)^{\frac{3}{2}}}} + \frac{{I_2}}{{(r^2 + d^2)^{\frac{3}{2}}}} = 0\]

Так как \(r\), \(d\) и \((r^2 + d^2)^{\frac{3}{2}}\) являются положительными значениями, мы можем домножить обе части уравнения на \((r^2 + d^2)^{\frac{3}{2}}\):

\[I_1 + I_2 = 0\]

Из данного уравнения следует, что сумма токов должна быть равна нулю. Следовательно, чтобы магнитное поле в точке на оси витков было равно нулю, ток в первом витке должен быть равен противоположному току во втором витке:

\[I_1 = -I_2\]

Таким образом, ток в первом витке должен быть равен току во втором витке с противоположным знаком. Это позволит создать магнитное поле, которое будет взаимно уничтожаться при суммировании.