а) Как изменятся координаты и путь протона с момента времени t0=0 до t6=6с, если собачка протон выбежала из дома

Пусть начальные координаты протона равны \(x_0\) и \(y_0\). Так как протон движется прямолинейно и его скорость составляет \(4 \, \text{м/с}\) в одном направлении, его движение можно описать следующим образом:

a) Путь протона от \(t_0 = 0\) до \(t_6 = 6\, \text{с}\):
Изначально протон находится в доме в точке с координатами \((x_0, y_0)\). Когда собачка дает команду, протон начинает движение со скоростью \(4 \, \text{м/с}\) в направлении, указанном хозяином, и движется до точки \((x_0 + 4 \cdot 6, y_0)\), где 4 - модуль скорости протона, а 6 - время движения. Затем, по команде хозяина, протон возвращается обратно, сохраняя модуль скорости и движется до начальной точки \((x_0, y_0)\). Таким образом, координаты протона изменяются следующим образом:

\(x(t) = \begin{cases} x_0 + 4 \cdot t, & \text{если } t \leq 6 \\ x_0 + 4 \cdot (12 - t), & \text{если } t > 6 \end{cases}\)
\(y(t) = y_0, \quad \text{для всех } t\)

б) Путь протона от \(t_2 = 2\, \text{с}\) до \(t_5 = 5\, \text{с}\):
Теперь рассмотрим период времени от \(t_2\) до \(t_5\). Протон уже находится в движении и находится на точке \((x_0 + 4 \cdot t_2, y_0)\). В этот период протон продолжает двигаться со скоростью \(4 \, \text{м/с}\) в направлении, указанном хозяином. За это время путь, пройденный протоном, будет равен модулю скорости, умноженному на время движения. Таким образом, путь протона будет равен:

\(S = |v| \cdot (t_5 - t_2) = 4 \, \text{м/с} \cdot (5 - 2) \, \text{с} = 12 \, \text{м}\)

Таким образом, путь протона за период времени от \(t_2\) до \(t_5\) будет равен 12 метрам.