Какой должен быть диаметр стали, чтобы удерживать груз массой 4 тонны при длине стержня l=1,2 м? Найти абсолютное

Для решения этой задачи нам необходимо использовать формулу для абсолютного удлинения стержня:

\[\Delta L = \frac{F \cdot l}{A \cdot E}\]

где
\(\Delta L\) - абсолютное удлинение стержня,
\(F\) - сила, действующая на стержень,
\(l\) - длина стержня,
\(A\) - площадь поперечного сечения стержня,
\(E\) - модуль упругости материала стержня.

Дано:
масса груза \(m = 4\) тонны,
длина стержня \(l = 1.2\) м,
допустимое напряжение на растяжение \(\sigma = 1600\) кг/см\(^2\),
модуль упругости \(E = 2 \cdot 10^6\) кг/см\(^2\).

Сначала найдём силу \(F\), действующую на стержень. Сила может быть найдена с использованием формулы

\[F = m \cdot g\]

где
\(g\) - ускорение свободного падения (принимаем его равным 9.8 м/с\(^2\)).

Подставляем известные значения:

\[F = 4 \cdot 10^3 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 = 39.2 \cdot 10^3 \, \text{Н}\]

Чтобы найти площадь поперечного сечения стержня, воспользуемся формулой:

\[A = \frac{\pi \cdot d^2}{4}\]

где
\(d\) - диаметр стержня.

Для определения диаметра стержня придётся решить эту формулу относительно \(d\):

\[d = \sqrt{\frac{4 \cdot A}{\pi}}\]

Мы знаем, что площадь поперечного сечения стержня напрямую зависит от его диаметра, поэтому мы можем найти диаметр стержня, подставив известные значения массы груза, длины стержня и допустимого напряжения на растяжение в формулу для площади поперечного сечения:

\[A = \frac{4 \cdot F \cdot l}{\sigma}\]

После нахождения площади поперечного сечения стержня, мы можем вычислить диаметр стержня:

\[d = \sqrt{\frac{4 \cdot A}{\pi}}\]

Теперь мы имеем все необходимые значения, чтобы приступить к решению задачи. Используем формулу для абсолютного удлинения стержня:

\[\Delta L = \frac{F \cdot l}{A \cdot E}\]

Подставляем известные значения:

\[\Delta L = \frac{39.2 \cdot 10^3 \, \text{Н} \cdot 1.2 \, \text{м}}{\frac{4 \cdot 39.2 \cdot 10^3 \, \text{Н} \cdot 1.2 \, \text{м}}{1600 \, \text{кг/см}^2} \cdot 2 \cdot 10^6 \, \text{кг/см}^2}\]

Выполняем вычисления:

\[\Delta L = \frac{39.2 \cdot 10^3 \, \text{Н} \cdot 1.2 \, \text{м}}{\frac{4 \cdot 39.2 \cdot 10^3 \, \text{Н} \cdot 1.2 \, \text{м}}{1600 \, \text{кг/см}^2} \cdot 2 \cdot 10^6 \, \text{кг/см}^2} = \frac{39.2 \cdot 1.2}{\frac{4 \cdot 1.2}{1600} \cdot 2} \approx 156 \, \text{см}\]

Таким образом, диаметр стержня должен быть найден из уравнения

\[d = \sqrt{\frac{4 \cdot A}{\pi}}\]

Очевидно, что это уравнение зависит от площади поперечного сечения стержня, которую мы ранее нашли:

\[d = \sqrt{\frac{4 \cdot \left(\frac{4 \cdot F \cdot l}{\sigma}\right)}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot \left(\frac{4 \cdot 39.2 \cdot 10^3 \cdot 1.2}{1600}\right)}{\pi}} \approx 29.63 \, \text{см}\]

Таким образом, диаметр стержня должен быть около 29.63 см.

И, наконец, абсолютное удлинение стержня составляет примерно 156 см при данных условиях.