Какой диаметр основания и объем конуса, если его площадь полной поверхности составляет 243π м² и его осевое сечение

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулы для площади полной поверхности конуса и объема конуса.

Формула для площади полной поверхности конуса:
\(S = \pi r (r + l)\),

где \(S\) - площадь полной поверхности, \(r\) - радиус основания, а \(l\) - образующая конуса.

Формула для объема конуса:
\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\),

где \(V\) - объем конуса, \(r\) - радиус основания, а \(h\) - высота конуса.

Исходя из условия задачи, у нас есть информация о площади полной поверхности конуса: \(S = 243\pi м^2\). Нам нужно найти диаметр основания и объем конуса.

Для начала, посмотрим на осевое сечение конуса, которое имеет форму равностороннего треугольника. Равносторонний треугольник характеризуется тем, что все его стороны равны.

По определению равностороннего треугольника, все углы в нем равны 60 градусов, а стороны равны между собой. Пусть сторона треугольника равна \(a\).

Так как это осевое сечение, то высота конуса равна стороне треугольника, \(h = a\).

Теперь, когда мы знаем высоту конуса, мы можем найти образующую конуса \(l\) с помощью теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(l\) и катетом \(r\) применим теорему Пифагора:

\[l^2 = r^2 + a^2.\]

Так как все стороны треугольника равны, \(a = r\). Подставим это в уравнение выше:

\[l^2 = r^2 + r^2 = 2r^2.\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы найти \(l\):

\[l = \sqrt{2r^2} = \sqrt{2}r.\]

Теперь у нас есть выражение для образующей конуса \(l\) через радиус основания \(r\).

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности конуса, используя формулу \(S = \pi r (r + l)\):

\[243\pi = \pi r (r + \sqrt{2}r).\]

Раскроем скобки:

\[243\pi = \pi r^2 + \pi r \sqrt{2}r.\]

Сократим общий множитель \(\pi\):

\[243 = r^2 + \sqrt{2}r^2.\]

Сложим два слагаемых:

\[243 = r^2(1 + \sqrt{2}).\]

Разделим обе части уравнения на коэффициент при \(r^2\), чтобы определить \(r\):

\[r^2 = \frac{243}{1 + \sqrt{2}}.\]

Подставим значение коэффициента при \(r^2\) в уравнение и вычислим \(r\):

\[r = \sqrt{\frac{243}{1 + \sqrt{2}}}.\]

Теперь, когда мы знаем радиус основания конуса \(r\), мы можем найти диаметр основания, который равен удвоенному радиусу: \(d = 2r\).

И, наконец, мы можем найти объем конуса, используя формулу \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\):

\[V = \frac{1}{3} \pi \left(\sqrt{\frac{243}{1 + \sqrt{2}}}\right)^2 \left(\sqrt{\frac{243}{1 + \sqrt{2}}}\right).\]

Подсчитываем значение выражения:

\[V \approx \frac{1}{3} \pi \cdot 243 \approx 81\pi м^3.\]

Итак, ответ на задачу: Диаметр основания конуса равен \(d = 2r\), где \(r = \sqrt{\frac{243}{1 + \sqrt{2}}}\), а объем конуса равен \(V \approx 81\pi м^3\).