Какой член разложения бинома (x^2-3/x^3 )^15 не содержит x? Какой член разложения бинома (2x^2-a/2x^3 )^10 не содержит

Хорошо, давайте посмотрим на решение каждой задачи по очереди.

1. Какой член разложения бинома \((x^2-\frac{3}{x^3})^{15}\) не содержит \(x\)?

Для ответа на этот вопрос, нам понадобится использовать биномиальную теорему, которая гласит:

\[(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^{n-1} b^1 + ... + C(n, k)a^{n-k} b^k + ... + C(n, n)a^0 b^n\]

где \(C(n, k)\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(k\).

В данной задаче \(a = x^2\) и \(b = -\frac{3}{x^3}\). Заметим, что \(b\) содержит \(x\) в знаменателе, следовательно, чтобы получить моном без \(x\), требуется, чтобы множитель \(x\) был возводился в ноль в каждом члене разложения.

Таким образом, чтобы найти член разложения без \(x\), мы должны рассмотреть только те члены, где \(b\) возводится в ноль.

Выразим \(b\) в виде \(b=\frac{-3}{x^3}\).

Теперь выразим исходное выражение через \(a\) и \(b\):

\((x^2-\frac{3}{x^3})^{15} = (a + b)^{15}\)

Теперь применим биномиальную теорему:

\((a + b)^{15} = C(15, 0)a^{15} b^0 + C(15, 1)a^{14} b^1 + ... + C(15, k)a^{15-k} b^k + ... + C(15, 15)a^0 b^{15}\)

Рассмотрим каждый член отдельно:

- Член без \(x\) будет иметь множитель \(b\) возводящийся в степень, где \(x\) возводится в ноль. Это происходит только в тех членах, где \(k=3\), так как \(b\) содержит \(x\) в знаменателе и нужно избавиться от него. Таким образом, рассмотрим член:

\[C(15, 3)a^{15-3} b^3 = C(15, 3)a^{12} \left(\frac{-3}{x^3}\right)^3\]

Если подсчитать значения сочетаний, получим:

\[C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = 455\]

Подставим это значение в член разложения:

\[455 a^{12} \left(\frac{-3}{x^3}\right)^3\]

Таким образом, член разложения без \(x\) равен \(455 a^{12} \left(\frac{-3}{x^3}\right)^3\).

2. Какой член разложения бинома \((2x^2-\frac{a}{2x^3})^{10}\) не содержит \(x\)?

Аналогично предыдущей задаче, применим биномиальную теорему:

\((2x^2-\frac{a}{2x^3})^{10} = (a + b)^{10}\)

где \(a = 2x^2\) и \(b = -\frac{a}{2x^3}\).

Разложим выражение:

\((a + b)^{10} = C(10,0)a^{10}b^0 + C(10,1)a^{10-1}b^1 + ... + C(10,k)a^{10-k}b^k + ... + C(10,10)a^0b^{10}\)

Аналогично первой задаче, рассмотрим только те члены, где множитель \(b\) возводится в ноль:

- Член без \(x\) будет иметь множитель \(b\) возводящийся в степень, где \(x\) возводится в ноль. Это происходит только в тех членах, где \(k=3\), так как \(b\) содержит \(x\) в знаменателе и нужно избавиться от него. Таким образом, рассмотрим член:

\[C(10, 3)a^{10-3} b^3 = C(10, 3)a^7 \left(-\frac{a}{2x^3}\right)^3\]

Таким образом, член разложения без \(x\) равен \(C(10, 3)a^7 \left(-\frac{a}{2x^3}\right)^3\).