При каких значениях переменной значение выражения x - 5 / (x^2 - 4x - 21) имеет смысл?

Чтобы определить, при каких значениях переменной \(x\) значение выражения \(x - \frac{5}{{x^2 - 4x - 21}}\) имеет смысл, нужно найти значения \(x\), при которых знаменатель не обращается в ноль. Если знаменатель обращается в ноль, то выражение становится неопределенным.

Для начала, нам нужно найти корни квадратного уравнения \(x^2 - 4x - 21 = 0\). Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни этого уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данной задаче коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = -4\) и \(c = -21\). Подставим значения в формулу дискриминанта:

\(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100\).

Теперь, имея значение дискриминанта, мы можем определить, есть ли уравнении действительные корни или нет. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных действительных корня; если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень; если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае, \(D = 100 > 0\), поэтому у нас есть два различных действительных корня.

Найдем сами корни уравнения. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\).

Подставив значения в формулу, получим:

\(x = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{100}}}{{2 \cdot 1}}\),

\(x = \frac{{4 \pm 10}}{{2}}\).

Теперь решим два уравнения:

1) \(x = \frac{{4 + 10}}{{2}}\),

\(x = \frac{{14}}{{2}}\),

\(x = 7\).

2) \(x = \frac{{4 - 10}}{{2}}\),

\(x = \frac{{-6}}{{2}}\),

\(x = -3\).

Итак, корни уравнения \(x^2 - 4x - 21 = 0\) равны \(x = 7\) и \(x = -3\).

Теперь можем ответить на вопрос задачи. Значение выражения \(x - \frac{5}{{x^2 - 4x - 21}}\) имеет смысл при любых значениях переменной \(x\), кроме значений \(x = 7\) и \(x = -3\). При этих значениях знаменатель становится равным нулю, что делает выражение неопределенным. В остальных случаях выражение имеет смысл и может быть рассчитано.