Какой член последовательности Pn=(13n+2)/n является максимальным?

Для решения данной задачи нужно найти максимальное значение члена последовательности \( P_n = \frac{{13n + 2}}{n} \). Для начала давайте рассмотрим члены последовательности для различных значений \( n \):

\[
\begin{align*}
P_1 &= \frac{{13 \cdot 1 + 2}}{1} = 15 \\
P_2 &= \frac{{13 \cdot 2 + 2}}{2} = 14 \\
P_3 &= \frac{{13 \cdot 3 + 2}}{3} = 11.67 \\
\vdots
\end{align*}
\]

Можно заметить, что члены последовательности уменьшаются с увеличением значения \( n \). Давайте докажем это. Рассмотрим разность соседних членов последовательности:

\[
\begin{align*}
P_{n+1} - P_n
&= \frac{{13(n+1) + 2}}{n+1} - \frac{{13n + 2}}{n} \\
&= \frac{{13n + 15}}{n+1} - \frac{{13n + 2}}{n} \\
&= \frac{{13n^2 + 13n + 13n + 15n - 13n - 2(n+1)}}{{n(n+1)}} \\
&= \frac{{13n^2 + 28n - 2n - 2}}{{n(n+1)}} \\
&= \frac{{13n^2 + 26n - 2}}{{n(n+1)}}
\end{align*}
\]

Теперь рассмотрим только числитель дроби \( 13n^2 + 26n - 2 \). Чтобы выяснить, когда разность положительна или отрицательна, нужно проанализировать знак этой функции. Мы знаем, что это парабола, и знак дискриминанта \(D\) позволяет определить поведение параболы.

Дискриминант \(D\) для данной параболы равен:

\[
D = b^2 - 4ac = 26^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-2) = 676 + 104 = 780 > 0
\]

Так как \(D > 0\), то у нашей параболы есть два корня. Чтобы определить, когда функция положительна или отрицательна, мы можем найти вершины параболы используя формулу:

\[
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{26}{2 \cdot 13} = -1
\]

Подставляя \(x_v\) в исходную функцию, получаем:

\[
y_v = 13 \cdot (-1)^2 + 26 \cdot (-1) - 2 = -13 - 26 - 2 = -41 < 0
\]

Таким образом, функция положительна до точки \(x_v\) и отрицательна после нее. Значит, разность членов последовательности \(P_{n+1} - P_n\) положительна при \(n < -1\) и отрицательна при \(n > -1\).

Из этого следует, что члены последовательности \(P_n\) убывают до некоторого значения \(n\) и возрастают после него. Чтобы найти максимальный член, нужно найти значение \(n\), при котором разность \(P_{n+1} - P_n\) становится отрицательной.

Мы уже рассчитали, что \(P_1 = 15\), а \(P_2 = 14\). Давайте найдем \(P_3\):

\[
P_3 = \frac{{13 \cdot 3 + 2}}{3} = \frac{{41}}{3} \approx 13.67
\]

Как мы видим, \(P_3\) уже меньше, чем \(P_2\). Это означает, что максимальный член последовательности \(P_n\) равен \(P_2 = 14\).