Какой будет радиус окружности с центром в точке а и касательной к данной окружности: а) снаружи; б) внутри, если дана

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание о геометрии и свойствах окружностей. Давайте посмотрим на каждый из двух случаев отдельно.

а) Если данная точка \(а\) находится снаружи окружности, то касательная проводится из точки \(а\) к окружности. Прежде чем найти радиус окружности, составим прямоугольный треугольник, чтобы лучше понять ситуацию.

Давайте объясним это пошагово:

1) Возьмем центр окружности и обозначим его буквой \(O\). Также обозначим точку касания касательной и окружности буквой \(B\).
2) Так как касательная проводится из точки \(а\) и касается окружности, то отрезок \(AB\) будет радиусом окружности.
3) Проведем отрезок \(OA\) - отрезок, соединяющий центр окружности \(O\) и точку \(а\).
4) Полученный треугольник \(OAB\) является прямоугольным, так как радиус, проведенный к касательной, всегда перпендикулярен самой касательной.
5) По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \(OAB\) можно записать следующее уравнение: \[OA^2 = OB^2 + AB^2\]
6) Известно, что радиус окружности соединяется с центром окружности прямой линией. Поэтому, отрезок \(OA\) равен разности радиуса окружности и расстояния от точки \(а\) до центра окружности: \(OA = R - |OA|\), где \(R\) - радиус окружности, \(|OA|\) - расстояние от точки \(а\) до центра окружности.
7) Теперь мы можем записать следующее уравнение:
\[(R-|OA|)^2 = OB^2 + AB^2\]
8) В данной задаче радиус \(R\) равен 3 см, а расстояние от точки \(а\) до центра окружности \(|OA|\) равно 5 см. Подставив эти значения, получаем:
\[(3-5)^2 = OB^2 + AB^2\]
9) Вычислим значение выражения:
\((-2)^2 = OB^2 + AB^2\)
\[
4 = OB^2 + AB^2
\]
10) Так как касательная к окружности проходит через точку касания \(B\), а радиус проведенный к касательной является перпендикуляром к ней, то треугольник \(OAB\) будет прямоугольным. Это значит, что \(OB\) и \(AB\) являются катетами треугольника, а радиус окружности \(R\) - гипотенузой.
11) В задаче нам нужен радиус окружности, то есть гипотенузу треугольника \(OAB\). Используя формулу Пифагора, найдем \(OB\):
\[
OB = \sqrt{R^2 - AB^2}
\]
12) Заменим значения в формуле:
\[
OB = \sqrt{3^2 - AB^2}
\]
13) Так как значение \(AB\) будет равно \(AB = R - |OA|\), подставим это значение:
\[
OB = \sqrt{3^2 - (3-5)^2}
\]
\[
OB = \sqrt{3^2 - (-2)^2}
\]
\[
OB = \sqrt{9 - 4}
\]
\[
OB = \sqrt{5}
\]
Таким образом, радиус окружности составит \(\sqrt{5}\) см при условии, что точка \(а\) находится снаружи окружности.

б) Если точка \(а\) находится внутри окружности, то касательная к окружности проводится из точки \(а\) и касается окружности. Теперь проведем касательную и разберемся, как изменяется решение.

1) Возьмем центр окружности и обозначим его буквой \(O\). Обозначим точку касания касательной и окружности буквой \(B\).
2) Как и в предыдущем случае, отрезок \(AB\) будет радиусом окружности, так как касательная проводится из точки \(а\) и касается окружности.
3) Проведем отрезок \(OA\) - отрезок, соединяющий центр окружности \(O\) и точку \(а\).
4) Полученный треугольник \(OAB\) также является прямоугольным, так как радиус, проведенный к касательной, всегда перпендикулярен самой касательной.
5) Используя формулу Пифагора, найдем \(OB\):
\[
OB = \sqrt{R^2 - AB^2}
\]
6) В данной задаче радиус \(R\) равен 3 см, а расстояние от точки \(а\) до центра окружности \(|OA|\) равно 5 см (как и в предыдущем случае). Подставив эти значения, получаем:
\[
OB = \sqrt{3^2 - (3-5)^2}
\]
\[
OB = \sqrt{3^2 - (-2)^2}
\]
\[
OB = \sqrt{3^2 - 4}
\]
\[
OB = \sqrt{5}
\]
Таким образом, радиус окружности составит \(\sqrt{5}\) см, даже если точка \(а\) находится внутри окружности.

Надеюсь, это разъясняет решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.