Какова площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника QAR равна 15 и проведены медианы BL

Для решения данной задачи, нам необходимо применить свойство медиан треугольника.

Медианы треугольника соединяют вершины треугольника с серединами противоположных сторон. По свойству медиан, они пересекаются в одной точке, которая называется центром тяжести треугольника.

Обозначим точку пересечения медианы BL и CN как М. Заметим, что по условию 2 является серединой отрезка BM, а R - серединой отрезка CN.

$\frac{BM}{BR}=\frac{1}{2}$ и $\frac{CN}{CR}=\frac{1}{2}$

Также известно, что площадь треугольника QAR равна 15. Пусть нам даны стороны треугольника: QA, AR и QR.

Для начала, найдем стороны треугольника ABC. По свойству медианы:

$BM=2BR$ и $CN=2CR$

Отсюда следует, что $BR=\frac{1}{2}BM$ и $CR=\frac{1}{2}CN$

Так как сторона QA является продолжением медианы BL, то QA = BL + LA = BM + LA, где LA - отрезок, соединяющий точку A и середину стороны QR.

Аналогично, сторона AR = CN + NA = CN + RA, где NA - отрезок, соединяющий точку A и середину стороны QR.

Подставим значения медиан в выражения для сторон треугольника:

QA = BM + LA = 2BR + LA
AR = CN + NA = 2CR + RA

Теперь у нас есть выражения для сторон треугольника ABC через стороны треугольника QAR.

Из условия задачи известна площадь треугольника QAR, равная 15. Обозначим стороны треугольника QAR как a, b и c, соответственно. При этом QM и RN являются медианами треугольника QAR.

Площадь треугольника можно выразить через длины сторон и высоту, проведённую к любой из сторон. Воспользуемся формулой площади треугольника через стороны и высоту:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$$

где S - площадь треугольника, a - длина стороны треугольника, $h_a$ - высота, опущенная на данную сторону.

Так как медианы в треугольнике делят его на шесть маленьких треугольников, общих основанием, то площадь треугольника QAR можно выразить через площади этих маленьких треугольников:

$$S_{QAR}=3\cdot S_{QRM}$$

Также известно, что площадь треугольника QAR равна 15:

$$15=3\cdot S_{QRM}$$

Теперь подставляем найденное значение в формулу площади треугольника через стороны и высоту, чтобы выразить высоту $h_a$:

$$15=3\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$$

Упростив выражение, получаем:

$$h_a=\frac{30}{a}$$

Зная высоту треугольника QAR, мы можем выразить высоту треугольника ABC через отношение сторон треугольников QAR и ABC:

$\frac{h_a}{h}$ = $\frac{a}{QA}$

Так как точка А лежит на стороне QR, а точка Q является серединой стороны AR, то $QA=\frac{AR}{2}$.

Подставляя значения и преобразуя уравнение, получаем:

$\frac{h}{\frac{30}{a}}$ = $\frac{a}{\frac{AR}{2}}$

Далее упрощаем полученное уравнение:

$h=\frac{15a}{AR}$

Зная также, что площадь треугольника ABC можно выразить через стороны и высоту к одной из сторон, мы можем применить формулу для нахождения площади треугольника ABC:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h$$

Подставляем найденные значения:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{AR}{2}\cdot \frac{15a}{AR}$$

Анализируя выражение, мы видим, что AR сокрашается и получаем окончательное выражение для площади треугольника ABC:

$$S_{ABC}=\frac{15a}{4}$$

Таким образом, площадь треугольника ABC равна $\frac{15a}{4}$, где a - длина стороны треугольника QAR.

Это подробное решение позволяет школьнику лучше понять, как именно применяются свойства медиан треугольника для нахождения площади треугольника ABC.