Какой будет объём тела, полученного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, если заданы три точки в системе

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для вычисления объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси.

Формула для вычисления объема вращаемого тела, известная как формула обоих парных интегралов, приведена ниже:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} R(x)^2 dx \]

где \( V \) - объем, \( R(x) \) - радиус, \( a \) и \( b \) - границы интегрирования.

Для начала, нам нужно найти функцию \( R(x) \), которая представляет радиус нашей фигуры в зависимости от \( x \).

Для этого, рассмотрим треугольник ABC. У него две стороны, параллельные оси ординат: AB и AC. Если мы вращаем треугольник вокруг оси ординат, то получаем тело в форме цилиндра.

Отрезок AC является высотой цилиндра, а отрезок AB - его радиусом на определенном расстоянии от оси ординат.

Формула для расстояния между двумя точками в пространстве выглядит следующим образом:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Применяя это к нашим точкам A и B, получаем:

\[ AB = \sqrt{(8 - 5)^2 + (2,6 - 2,6)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 \]

Таким образом, мы нашли, что радиус \( R(x) \) цилиндра равен 3 в любой точке \( x \) от 5 до 8.

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для вычисления объема:

\[ V = \pi \int_{5}^{8} 3^2 dx = \pi \int_{5}^{8} 9 dx \]

Интегрируя выражение по переменной \( x \), получаем:

\[ V = \pi \left[9x\right]_{5}^{8} = \pi \left(9 \cdot 8\ -\ 9 \cdot 5\right) = \pi \left(72\ -\ 45\right) = \pi \cdot 27 = 27\pi \]

Таким образом, объем тела, полученного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, равен \( 27\pi \) единицам объема.