Как найти среднюю линию, параллельную гипотенузе, в прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB=9 см и BC=12

Для начала, давайте вспомним некоторые факты о прямоугольных треугольниках и их свойствах.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза - это сторона, расположенная напротив прямого угла, а катеты - это две другие стороны. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, что записывается следующим образом:
\[AB^2 + BC^2 = AC^2,\]
где AB и BC - длины катетов, а AC - длина гипотенузы.

В данной задаче у нас прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 9 см и BC = 12 см. Наша задача - найти среднюю линию, которая параллельна гипотенузе AC.

Чтобы найти среднюю линию, нам нужно знать её длину и положение в треугольнике. Начнём с определения положения.

Средняя линия в прямоугольном треугольнике соединяет середины двух катетов. В нашем случае, это будет отрезок, соединяющий середину AB с серединой BC. Обозначим середины как D и E соответственно. То есть, мы должны найти точку D на отрезке AB и точку E на отрезке BC.

Чтобы найти эти точки, воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников. Середины сторон прямоугольного треугольника делятся в отношении 1:1, то есть, отрезок AD будет равномерно делить отрезок AB, а отрезок BE - отрезок BC. Мы можем найти середины, просто разделив длины сторон пополам.

Длина отрезка AD будет равна половине длины AB, то есть \(\frac{AB}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\) см.
Аналогично, длина отрезка BE будет равна половине длины BC, \(\frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6\) см.

Теперь у нас есть положение серединных точек (D и E), но наша задача также заключается в определении длины средней линии. Чтобы найти длину, воспользуемся понятием подобных треугольников.

Так как средняя линия параллельна гипотенузе AC, она делит гипотенузу на две равные части. То есть, отрезок DE будет равен половине длины гипотенузы AC. Для нахождения этой половины, разделим длину AC пополам:
\(\frac{AC}{2}\).

Для вычисления длины гипотенузы, воспользуемся теоремой Пифагора:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2.\]
Подставим известные значения:
\[AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225.\]
Извлекая квадратный корень, мы найдем точную длину гипотенузы: \(AC = \sqrt{225} = 15\) см.

Теперь мы можем вычислить половину длины гипотенузы:
\(\frac{AC}{2} = \frac{15}{2} = 7.5\) см.

Таким образом, средняя линия DE будет иметь длину 7.5 см. Абсолютные значения - это значения, которые мы получили в ходе вычислений.

Итак, ответ на задачу: средняя линия, параллельная гипотенузе AC, в прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 9 см и BC = 12 см, имеет длину 7.5 см.