Каковы значения x, при которых неравенство 2х + 1/x^2 > 7,05 справедливо для 0 < x < 0,4? Ваши ответы на следующие

Данное неравенство представляет собой квадратичную функцию с дробными коэффициентами. Чтобы решить его, мы должны привести его к одной стороне, чтобы получить квадратное уравнение, а затем найти его корни.
Итак, начнем:

\[2x + \frac{1}{{x^2}} > 7,05\]

Умножим все выражение на \(x^2\), чтобы избавиться от дроби:

\[2x^3 + 1 > 7,05x^2\]

Теперь приведем все к одной стороне:

\[2x^3 - 7,05x^2 + 1 > 0\]

Теперь можем приступить к нахождению ответа на эту задачу.

1. Чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие неравенству, нужно проанализировать характер функции \(f""(x)\), которая представляет собой производную второго порядка и помогает нам понять, когда функция выпуклая (у) или вогнутая(в). Если \(f""(x) < 0\), то функция выпуклая вниз (у).

Рассмотрим производную второго порядка \(f""(x)\) нашей функции:

\[f""(x) = 12x - 14,1\]

Решим неравенство \(12x - 14,1 < 0\) для определения интервала, на котором \(f""(x) < 0\):

\[12x < 14,1\]
\[x < \frac{14,1}{12}\]
\[x < 1,175\]

Таким образом, для значений \(x\) , меньших 1,175, функция является выпуклой вниз.

2. Теперь определим характер функции \(f(x)\) на интервале \(x<1,175\). Следуя результату из пункта 1, функция будет выпуклой вниз (у).

3. Для свойства убывающей функции нам нужно сравнить значения функции для двух разных \(x\). Если \(x_1 < x_2\), то \(f(x_1) > f(x_2)\) для убывающей функции.

Таким образом, если \(x_1 < x_2\), то \(f(x_1) > f(x_2)\).

Вывод:
Значения \(x\), при которых неравенство \(2x + \frac{1}{{x^2}} > 7,05\) справедливо для \(0 < x < 0,4\) - это все значения \(x\) из интервала \(0 < x < 1,175\), так как функция \(f(x)\) является выпуклой вниз на этом интервале и представляет собой убывающую функцию.