Каковы значения x, при которых функция f(x)=x^3+6x^2-15x-22 достигает своих максимальных и минимальных значений

Чтобы найти значения x, при которых функция \(f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 22\) достигает своих максимальных и минимальных значений на интервале \([-2, 2]\), мы должны использовать метод дифференцирования. Давайте найдем производную функции и проанализируем ее поведение.

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\).
Для этого мы возьмем каждый член функции и применим правила дифференцирования. При дифференцировании члены \(x^3\), \(6x^2\) и \(-15x\) превратятся соответственно в \(3x^2\), \(12x\) и \(-15\):
\[f"(x) = 3x^2 + 12x - 15\]

Шаг 2: Найдем значения x, при которых \(f"(x) = 0\).
Это можно сделать, решив квадратное уравнение \(3x^2 + 12x - 15 = 0\). Для решения этого уравнения мы можем использовать метод факторизации или формулу дискриминанта.

Метод факторизации:
Найдем такие числа a и b, чтобы их сумма равнялась 12, а произведение равнялось -45 (\(3 \cdot -15\)). Очевидно, что эти числа 15 и -3. Теперь мы можем факторизовать уравнение:
\[3x^2 + 15x - 3x - 15 = 0\]
\[3x(x + 5) - 3(x + 5) = 0\]
\[(3x-3)(x+5) = 0\]

Отсюда мы видим, что \(3x-3 = 0\) или \(x+5 = 0\):
\[3x = 3 \Rightarrow x = 1\]
\[x = -5\]

Метод дискриминанта:
Используя формулу дискриминанта, где \(D = b^2 - 4ac\), где в нашем случае \(a = 3\), \(b = 12\), \(c = -15\), мы имеем:
\[D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 144 + 180 = 324\]

Теперь мы можем использовать корни уравнения, чтобы найти значения x, при которых \(f"(x) = 0\) и функция пересекает горизонтальную ось.

Шаг 3: Анализ поведения функции в точках \(x = 1\), \(x = -5\) и на концах интервала \([-2, 2]\).
Теперь, когда у нас есть значения \(x = 1\) и \(x = -5\), для которых \(f"(x) = 0\), мы можем проанализировать поведение функции \(f(x)\) в этих точках.

Для начала, определим значение функции \(f(x)\) в концах интервала \([-2, 2]\). Вычислим \(f(-2)\) и \(f(2)\):
\[f(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 - 15(-2) - 22 = -8 + 24 + 30 - 22 = 24\]
\[f(2) = 2^3 + 6(2)^2 - 15(2) - 22 = 8 + 24 - 30 - 22 = -20\]

Таким образом, \(f(-2) = 24\) и \(f(2) = -20\).

Теперь, воспользуемся значениями \(x = 1\) и \(x = -5\) для применения второй производной для определения экстремумов функции.

Шаг 4: Определение экстремумов функции.
Для определения, является ли функция \(f(x)\) максимальной или минимальной в точках \(x = 1\) и \(x = -5\), мы должны использовать вторую производную функции \(f(x)\). Чтобы найти вторую производную, мы должны снова дифференцировать первую производную \(f"(x)\):
\[f""(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 12x - 15) = 6x + 12\]

Теперь подставим значение \(x = 1\) и \(x = -5\) во вторую производную:
\[f""(1) = 6(1) + 12 = 18\]
\[f""(-5) = 6(-5) + 12 = -18\]

Если вторая производная положительна (\(f""(x) > 0\)), то у нас есть минимум функции в точке. Если вторая производная отрицательна (\(f""(x) < 0\)), то у нас есть максимум функции в точке.

Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

1. Функция \(f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 22\) достигает максимального значения на интервале \([-2, 2]\) в точке \(x = -5\), где \(f(-5) = 24\).
2. Функция \(f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 22\) достигает минимального значения на интервале \([-2, 2]\) в точке \(x = 1\), где \(f(1) = -20\).

Надеюсь, это решение понятно и помогает вам понять, как найти значения x, при которых функция достигает своих максимальных и минимальных значений на интервале.