Каковы значения сторон прямоугольного треугольника, если высота из вершины прямого угла равна 48 см, а проекция одного

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Мы знаем, что прямоугольный треугольник имеет один прямой угол, и одна из его сторон называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами.

В данной задаче мы знаем, что высота, проведенная из вершины прямого угла, равна 48 см. Высота перпендикулярна гипотенузе и разделяет треугольник на два прямоугольных треугольника.

Давайте обозначим катеты треугольника как \(a\) и \(b\). Тогда мы можем записать следующие соотношения:

\[\begin{align*}
ab &= 48 \cdot 48 \quad \text{(так как площадь одного из прямоугольных треугольников равна половине площади большого)} \\
a^2 + b^2 &= c^2 \quad \text{(так как в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы)}
\end{align*}\]

Здесь, \(c\) - это гипотенуза. Мы знаем, что один из катетов проецируется на гипотенузу, поэтому предположим, что катет \(a\) проецируется на гипотенузу, тогда \(b\) будет другим катетом.

Давайте решим эти уравнения:

Исходя из первого уравнения \(ab = 48 \cdot 48\), мы можем найти выражение для одного из катетов в терминах другого. Для этого, разделим обе части на \(b\):

\[a = \frac{{48 \cdot 48}}{{b}}\]

Теперь, подставим это значение во второе уравнение:

\[\left(\frac{{48 \cdot 48}}{{b}}\right)^2 + b^2 = c^2\]

Для удобства, давайте упростим это уравнение:

\[\frac{{48^4}}{{b^2}} + b^2 = c^2\]

Теперь у нас есть уравнение с двумя переменными (\(b\) и \(c\)), но мы хотим найти значения сторон треугольника.

Однако, мы знаем, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, поэтому можем записать:

\[c^2 = 48^2 + b^2\]

Теперь, давайте подставим это значение обратно в предыдущее уравнение:

\[\frac{{48^4}}{{b^2}} + b^2 = 48^2 + b^2\]

Мы видим, что \(b^2\) удаляется с обеих сторон уравнения:

\[\frac{48^4}{b^2} = 48^2\]

Теперь, давайте решим это уравнение, умножив обе части на \(b^2\):

\[48^4 = 48^2 \cdot b^2\]

Теперь, мы можем опустить обе части уравнения на \(48^2\):

\[b^2 = 48^2\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[b = 48\]

Теперь у нас есть значение для катета \(b\). Давайте подставим его обратно в уравнение \(a = \frac{{48 \cdot 48}}{{b}}\):

\[a = \frac{{48 \cdot 48}}{{48}} = 48\]

Итак, значения сторон прямоугольного треугольника равны \(a = 48\) и \(b = 48\). Гипотенуза \(c\) может быть рассчитана с использованием уравнения \(c^2 = 48^2 + 48^2\) и тригонометрической функции квадратного корня, но это не требуется для нахождения значений \(a\) и \(b\) в данной задаче.

Надеюсь, это помогло вам понять, как найти значения сторон прямоугольного треугольника в данной задаче.