Каковы значения неизвестных сторон прямоугольного треугольника АВС (где угол С является прямым углом), если известно

Для решения этой задачи нам понадобятся три основные формулы: теорема Пифагора, соотношение между синусом и противоположным катетом, и соотношение между косинусом и прилежащим катетом. Давайте начнем с выяснения значения синуса противоположного угла А, используя данное соотношение: \(\sin A = \frac{1}{4}\).

Теперь, поскольку это прямоугольный треугольник, применим теорему Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\).

Мы знаем, что AC равна 3, поэтому получаем следующее уравнение: \(AB^2 = 3^2 + BC^2\).

Используем значение синуса, чтобы найти значение косинуса угла В: \(\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B}\).

Подставив значение синуса 1/4, получим: \(\cos B = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2}\).

Теперь, чтобы найти значение катета BC, умножим значение длины AB на косинус угла В: \(BC = AB \cdot \cos B\).

Итак, мы имеем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
AB^2 = 3^2 + BC^2 \\
\cos B = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} \\
BC = AB \cdot \cos B
\end{cases}
\]

Давайте первым делом решим второе уравнение:
\(\cos B = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{15}}{4}\).

Теперь, зная значение косинуса и длину AC, мы можем найти длину BC:
\(BC = AB \cdot \cos B = AB \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}\).

Подставим это значение в первое уравнение:
\(AB^2 = 3^2 + \left( AB \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \right)^2\).

Раскроем скобки: \(AB^2 = 9 + \left( \frac{ AB^2 \cdot 15}{16} \right)\).

Упростим это уравнение, переместив все члены с \(AB^2\) влево: \(AB^2 - \frac{15}{16}AB^2 = 9\).

Сократим дробь и приведем подобные члены: \(\frac{16AB^2 - 15AB^2}{16} = 9\).

Осталось упростить это уравнение и решить его. Ответ даст нам значения сторон прямоугольного треугольника АВС. Я покажу вам окончательный ответ через несколько мгновений.