1) Какова площадь поверхности цилиндра, образованного вращением единичного квадрата ABCD вокруг оси AD? 2) Если объем

1) Для решения данной задачи мы можем использовать знания о поверхностях вращения. В начале давайте визуализируем ситуацию. У нас есть квадрат ABCD со стороной длиной 1 единицу. Если мы будем вращать этот квадрат вокруг стороны AD, получится цилиндр. Чтобы найти площадь поверхности этого цилиндра, мы должны учесть площадь боковой поверхности и площадь двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. Длина окружности вычисляется по формуле \(C = 2\pi r\), где \(r\) - радиус цилиндра. В данном случае, сторона квадрата (AB или AD) является диаметром окружности, поэтому радиус цилиндра будет равен половине длины стороны, то есть \(\frac{1}{2}\) единицы. Высота цилиндра равна длине стороны квадрата (1 единица). Подставляем значения в формулу площади боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = 2\pi \times \frac{1}{2} \times 1 = \pi \text{ единиц}^2\].

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(\pi\) квадратным единицам.

Площадь двух оснований цилиндра равна площади квадрата ABCD, так как он вращается вокруг стороны AD. Площадь основания равна \(1 \times 1 = 1\) квадратной единице.

Теперь сложим площадь боковой поверхности и площадь двух оснований, чтобы найти площадь поверхности цилиндра:

\[S_{\text{пов}} = S_{\text{бок}} + 2 \times S_{\text{осн}} = \pi + 2 = \pi + 2 \text{ квадратные единицы}.\]

2) У нас есть информация о объеме сферы, который равен \(36\pi\) кубических сантиметров. Мы хотим найти радиус этой сферы. Формула для объема сферы - \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) , где \(r\) - радиус сферы.

Подставим данную информацию и решим уравнение, чтобы найти радиус:

\[36\pi = \frac{4}{3}\pi r^3.\]

Для начала избавимся от коэффициента \(\frac{4}{3}\), переместив его на другую сторону уравнения:

\[r^3 = \frac{3}{4} \times 36.\]

Выполним упрощение:

\[r^3 = \frac{3}{4} \times 36 = \frac{3}{4} \times 3 \times 12 = 27.\]

Чтобы найти значение радиуса \(r\), избавимся от переменной степени 3, взяв кубический корень от обеих сторон уравнения:

\[r = \sqrt[3]{27} = 3.\]

Таким образом, радиус сферы равен 3 сантиметра.