Каковы высота и радиус цилиндра, если его площадь боковой поверхности равна 144pi и высота на 6 больше радиуса?

Давайте решим данную задачу пошагово.

Обозначим высоту цилиндра буквой \(h\), а радиус - буквой \(r\).

В задаче уже дано, что площадь боковой поверхности цилиндра равна \(144\pi\). Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(2\pi rh\).

Подставим известные значения в формулу и получим уравнение:
\[2\pi rh = 144\pi\]

Так как задача говорит, что высота цилиндра на 6 больше радиуса (\(h = r + 6\)), заменим \(h\) в уравнении на \(r + 6\):
\[2\pi r(r + 6) = 144\pi\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[2\pi r^2 + 12\pi r = 144\pi\]

Сократим обе части уравнения на \(\pi\):
\[2r^2 + 12r = 144\]

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
\[2r^2 + 12r - 144 = 0\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Используя квадратное уравнение нахождения корней, получаем:
\[r = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Где \(a = 2\), \(b = 12\) и \(c = -144\).

Подставим значения и вычислим \(r\):
\[r = \frac{{-12 \pm \sqrt{{12^2 - 4 \cdot 2 \cdot -144}}}}{{2 \cdot 2}}\]

Вычислим значение под корнем:
\[\sqrt{{12^2 - 4 \cdot 2 \cdot -144}} = \sqrt{{144 + 1152}} = \sqrt{{1296}} = 36\]

Теперь вычислим значения радиуса \(r\):
\[r = \frac{{-12 \pm 36}}{{4}}\]

Получим два корня:
\(r_1 = \frac{{-12 + 36}}{{4}} = \frac{{24}}{{4}} = 6\)

\(r_2 = \frac{{-12 - 36}}{{4}} = \frac{{-48}}{{4}} = -12\)

Из физического смысла задачи следует, что радиус не может быть отрицательным. Значит, мы выбираем положительное значение радиуса \(r = 6\).

Теперь, чтобы найти высоту цилиндра \(h\), используем условие, что \(h = r + 6\):
\[h = 6 + 6 = 12\]

Таким образом, высота цилиндра равна 12 единицам, а радиус равен 6 единицам.