Какова длина меньшей из дуг, стягиваемых хордой, проведенной в окружности длиной 40п и отстоящей от центра на

Хорошо, чтобы решить эту задачу, давайте посмотрим на изображение, которое вы предоставили.

Для начала, давайте обозначим данные и нам дан радиус окружности \(r = 40\) см и расстояние от центра окружности до хорды \(d = 10\) см. Мы должны найти длину меньшей из дуг, стягиваемых этой хордой.

Изображение, на котором представлена задача, изображает следующую ситуацию:

\[
\begin{array}{c|c}
& \\
& \\
& \\
& \\
& \\
\end{array}
\]

Представленная хорда имеет длину \(l\), и находится на расстоянии \(d\) от центра окружности. Ясно видно, что обе хорды, стягиваемые этой хордой, являются равными дугами внутри окружности.

Чтобы найти длину меньшей из двух равных дуг, стягиваемых хордой, мы должны знать, как связаны хорда, радиус и дуга в окружности.

Это связь определяется теоремой, которая гласит: "Длина хорды, проходящей через радиус окружности, является геометрическим средним между длинами двух стягиваемых ей дуг."

Обозначим \(l\) - длина хорды, \(x\) - длина одной из стягиваемых дуг. Тогда длина другой дуги будет равна \(40 - x\). Теперь мы можем записать соответствующее равенство:

\[l = 2 \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2} \right)^2}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(l\):

\[
l = 2 \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2} \right)^2}
\]

Возводим оба выражения в квадрат:

\[
l^2 = 4 \left(r^2 - \left(\frac{l}{2} \right)^2\right)
\]

Раскрываем квадрат внутри скобок:

\[
l^2 = 4r^2 - l^2
\]

Теперь собираем все \(l\) на одной стороне:

\[
2l^2 = 4r^2
\]

Делим обе стороны на 2:

\[
l^2 = 2r^2
\]

Извлекаем квадратный корень:

\[
l = \sqrt{2r^2}
\]

Подставляем значение \(r = 40\) см:

\[
l = \sqrt{2 \cdot 40^2}
\]

Вычисляем:

\[
l = \sqrt{2 \cdot 1600} = \sqrt{3200} \approx 56.57 \text{ см}
\]

Таким образом, длина меньшей из дуг, стягиваемых хордой, будет примерно равна 56.57 см.