Каковы высота и площадь боковой поверхности пирамиды, основание которой представляет собой ромб со стороной 36

Чтобы найти высоту и площадь боковой поверхности пирамиды, основание которой представляет собой ромб со стороной 36 см и острым углом 30°, а все двугранные углы при основании равны 60°, мы можем использовать геометрические свойства пирамид.

Давайте начнем с решения для высоты пирамиды. В пирамиде с ромбовидным основанием, высота проходит через вершину пирамиды и перпендикулярна плоскости основания. Так как ромб является равнобоким и один из его углов равен 30°, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали ромба и одной его стороной.

Длина диагонали ромба (корень из 3) может быть найдена с использованием тригонометрического соотношения для прямоугольного треугольника:
$$a=\frac{c}{\sqrt{3}}$$,
где $a$ - длина стороны ромба, а $c$ - длина диагонали ромба.
Подставляя известные значения, получаем:
$$c=a\cdot \sqrt{3}=36\cdot \sqrt{3}\text{см}$$.

Теперь рассмотрим направляющую строку ромба (высоту прямоугольного треугольника), обозначим ее как $h$.
Угол между основанием ромба (стороной ромба) и направляющей строкой равен 30°, и мы можем найти эту сторону, используя тригонометрическое соотношение:
$$\sin 30°=\frac{h}{c}$$.
Подставляя значения, получаем:
$$\frac{1}{2}=\frac{h}{36\cdot \sqrt{3}}$$.
Решая уравнение относительно $h$, получаем:
$$h=18\cdot \sqrt{3}\text{см}$$.

Теперь перейдем к нахождению площади боковой поверхности. Боковая поверхность пирамиды представляет собой набор равносторонних треугольников, каждый из которых имеет длину стороны, равную стороне ромба.
Площадь одного треугольника равна:
$$S_{\text{треугольника}}=\frac{a\cdot h}{2}$$,
где $a$ - длина стороны ромба, а $h$ - найденная нами высота пирамиды.
Подставляя известные значения, получаем:
$$S_{\text{треугольника}}=\frac{36\cdot 18\cdot \sqrt{3}}{2}=324\cdot \sqrt{3}{\text{см}}^2$$.

Так как боковая поверхность пирамиды состоит из четырех треугольников, общая площадь боковой поверхности будет равна:
$$S_{\text{боковой поверхности}}=4\cdot S_{\text{треугольника}}=4\cdot 324\cdot \sqrt{3}=1296\cdot \sqrt{3}{\text{см}}^2$$.

Таким образом, высота пирамиды равна $18\cdot \sqrt{3}$ см, а площадь боковой поверхности равна $1296\cdot \sqrt{3}$ см².