Каковы выражения для угла поворота и углового ускорения тела при вращении вокруг неподвижной оси, если угловая скорость

Для решения данной задачи нам необходимо найти выражения для угла поворота и углового ускорения тела при вращении вокруг неподвижной оси. Дано, что угловая скорость изменяется со временем по закону \(\omega = a t + b t^2\), где \(a = 3\) рад/с\(^2\), \(b = 0.5\) рад/с\(^2\).

Для нахождения углового ускорения \(\alpha\) мы можем воспользоваться формулой \(\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\), где \(\Delta \omega\) - изменение угловой скорости, а \(\Delta t\) - изменение времени. В данном случае, угловая скорость меняется со временем, поэтому мы должны найти производную от закона изменения угловой скорости по времени.

Учитывая, что \(\omega = a t + b t^2\), возьмем производную от этого выражения по \(t\):

\[\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(a t + b t^2)\]

Дифференцируя каждый член по отдельности, получаем:

\[\alpha = a + 2b t\]

Таким образом, выражение для углового ускорения задано формулой \(\alpha = a + 2b t\).

Теперь перейдем к нахождению угла поворота \(\varphi\) через 3 секунды после начала вращения. Для этого мы можем воспользоваться интегралом от угловой скорости \(\omega\) по времени \(t\):

\[\Delta \varphi = \int_0^3 \omega dt\]

Подставляя значение угловой скорости \(\omega = a t + b t^2\), получаем:

\[\Delta \varphi = \int_0^3 (a t + b t^2) dt\]

Вычисляя интеграл, получаем:

\[\Delta \varphi = \left.\frac{1}{2} a t^2 + \frac{1}{3} b t^3\right|_0^3\]

Подставляя значения \(a = 3\) рад/с\(^2\), \(b = 0.5\) рад/с\(^2\) и вычисляя, получаем:

\[\Delta \varphi = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3^2 + \frac{1}{3} \cdot 0.5 \cdot 3^3 - \left(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 0^2 + \frac{1}{3} \cdot 0.5 \cdot 0^3\right)\]

\[\Delta \varphi = \frac{27}{2} + \frac{9}{2} = 18\]

Таким образом, через 3 секунды после начала вращения тело повернется на угол \(18\) радианов.