Каковы все значения x из отрезка [3pi/2, 2pi], которые удовлетворяют уравнению sin2x=sinx-2sin(x-3pi/2)+1?

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

У нас дано уравнение \(\sin^2x = \sin x - 2\sin(x - \frac{3\pi}{2}) + 1\) и нам нужно найти все значения \(x\) из отрезка \([ \frac{3\pi}{2}, 2\pi ]\), которые удовлетворяют этому уравнению.

1. Начнем с упрощения уравнения. Заметим, что \(-\frac{3\pi}{2}\) является углом, синонимичным 0 радиан. Поэтому мы можем заменить \(\sin(x - \frac{3\pi}{2})\) на \(\sin x\). Таким образом, у нас получится уравнение \(\sin^2x = \sin x - 2\sin x + 3 + 1\).

2. Продолжим упрощение. У нас есть квадрат синуса, поэтому мы можем заменить его значение, используя математическую идентичность \(\sin^2x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x)\). После замены наше уравнение примет вид \(\frac{1}{2}(1 - \cos 2x) = \sin x - 2\sin x + 4\).

3. Приведем подобные слагаемые синусов на одну сторону уравнения. Получим \(\frac{1}{2}(1 - \cos 2x + 2\sin x - 4\sin x) = 4\).

4. Упростим это еще дальше. Считая, что \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\), мы можем заменить его в уравнении. Получим \(\frac{1}{2}(2 - 2\sin^2 x - 2\sin x + 4\sin x) = 4\).

5. Приведем подобные слагаемые и упростим уравнение. Получим \(1 - \sin^2 x + 2\sin x = 4\).

6. Заметим, что \(1 - \sin^2 x\) является \(\cos^2 x\), используя идентичность \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). После замены у нас получится уравнение \(\cos^2 x + 2\sin x = 4\).

7. Поскольку у нас есть квадрат косинуса и синус, мы можем использовать идентичность \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). Подставим это в уравнение и получим \(1 - \cos^2 x + 2\sin x = 4\).

8. Теперь у нас линейное уравнение, которое можно решить. Приведем его к стандартному виду: \(-\cos^2 x + 2\sin x - 3 = 0\).

9. Мы видим квадрат косинуса и синуса, мы можем использовать идентичность \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) и подставить это в уравнение. Получим \(- (1 - \sin^2 x) + 2\sin x - 3 = 0\).

10. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим \(-1 + \sin^2 x + 2\sin x - 3 = 0\).

11. Упростим уравнение. Получим \(\sin^2 x + 2\sin x - 4 = 0\).

12. Теперь у нас квадратное уравнение. Решим его с использованием формулы дискриминанта.

Формула дискриминанта гласит: \(D = b^2 - 4ac\), где a = 1, b = 2 и c = -4.

Вычислим дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20\).

13. Дискриминант положительный, поэтому у нас есть два корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Вычислим первый корень: \(x_1 = \frac{-2 - \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 2\sqrt{5}}{2} = -1 - \sqrt{5}\).

Вычислим второй корень: \(x_2 = \frac{-2 + \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 2\sqrt{5}}{2} = -1 + \sqrt{5}\).

14. Наш ответ состоит из двух значений: \(-1 - \sqrt{5}\) и \(-1 + \sqrt{5}\).

Таким образом, все значения \(x\) из отрезка \([ \frac{3\pi}{2}, 2\pi ]\), которые удовлетворяют уравнению \(\sin^2x = \sin x - 2\sin(x - \frac{3\pi}{2}) + 1\), это \(-1 - \sqrt{5}\) и \(-1 + \sqrt{5}\).