Каковы все возможные значения для пар натуральных чисел x и y, которые удовлетворяют уравнению x2y2+x2+y2=3736?

Давайте решим данное уравнение по шагам и найдем все возможные значения для пар натуральных чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяют уравнению $x^2{y}^2+x^2+y^2=3736$.

1. Распишем данное уравнение полностью: $x^2{y}^2+x^2+y^2=3736$.
2. Обратим внимание, что данное уравнение содержит квадраты переменных $x$ и $y$, поэтому введем новые переменные $a=x^2$ и $b=y^2$, чтобы упростить выражение.
3. Теперь наше уравнение будет иметь вид: $ab+a+b=3736$.
4. Проанализируем данное уравнение. Заметим, что все члены содержат положительные значения, поэтому для получения максимального значения левой части уравнения, необходимо найти максимальные значения для $a$ и $b$.
5. Мы знаем, что $a$ и $b$ - натуральные числа, поэтому для максимального значения левой части уравнения достаточно найти наибольшие возможные значения для $a$ и $b$.
6. Найдем наибольшие значения для $a$ и $b$:
- Поскольку $a$ и $b$ - квадраты натуральных чисел, то наибольшее возможное значение для $a$ и $b$ будет равно квадрату наибольшего натурального числа, которое меньше 3736.
- Проверим значения квадратов натуральных чисел. Найбольший квадрат натурального числа, меньшего чем 3736, равен 61, поскольку ${61}^2=3721<3736$.
- Таким образом, наибольшее возможное значение для $a$ и $b$ равно 61.
7. Подставим найденные значения $a=61$ и $b=61$ обратно в уравнение $ab+a+b=3736$ и решим это уравнение:
- $61\cdot 61+61+61=3736$.
- $3721+61+61=3736$.
- $3743=3736$.
- Получили противоречие, поэтому значения $a=61$ и $b=61$ не подходят.
8. Подставим значения ближайших меньших квадратов натуральных чисел и продолжим этот процесс, пока не найдем подходящие значения:
- Попробуем $a=60$ и $b=60$.
- $60\cdot 60+60+60=3660$.
- Данное значение меньше 3736, поэтому данная пара $(x,y)$ удовлетворяет уравнению.
9. Нашли одно подходящее значение $(a,b)=(60,60)$, но нам требуется найти значения для переменных $x$ и $y$. Вернемся к исходной системе уравнений $a=x^2$ и $b=y^2$.
10. Найдем корни квадратные из $a=60$ и $b=60$:
- $x=\sqrt{60}\approx 7.74597$.
- $y=\sqrt{60}\approx 7.74597$.
11. Округлим найденные значения $\sqrt{60}$ до ближайших натуральных чисел:
- $x=8$.
- $y=8$.

Таким образом, решением данного уравнения $x^2{y}^2+x^2+y^2=3736$ является пара натуральных чисел $(x,y)=(8,8)$.