Каковы все возможные значения для пар натуральных чисел x и y, которые удовлетворяют уравнению x2y2+x2+y2=3736?

Давайте решим данное уравнение по шагам и найдем все возможные значения для пар натуральных чисел \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют уравнению \(x^2y^2 + x^2 + y^2 = 3736\).

1. Распишем данное уравнение полностью: \(x^2y^2 + x^2 + y^2 = 3736\).
2. Обратим внимание, что данное уравнение содержит квадраты переменных \(x\) и \(y\), поэтому введем новые переменные \(a = x^2\) и \(b = y^2\), чтобы упростить выражение.
3. Теперь наше уравнение будет иметь вид: \(ab + a + b = 3736\).
4. Проанализируем данное уравнение. Заметим, что все члены содержат положительные значения, поэтому для получения максимального значения левой части уравнения, необходимо найти максимальные значения для \(a\) и \(b\).
5. Мы знаем, что \(a\) и \(b\) - натуральные числа, поэтому для максимального значения левой части уравнения достаточно найти наибольшие возможные значения для \(a\) и \(b\).
6. Найдем наибольшие значения для \(a\) и \(b\):
- Поскольку \(a\) и \(b\) - квадраты натуральных чисел, то наибольшее возможное значение для \(a\) и \(b\) будет равно квадрату наибольшего натурального числа, которое меньше 3736.
- Проверим значения квадратов натуральных чисел. Найбольший квадрат натурального числа, меньшего чем 3736, равен 61, поскольку \(61^2 = 3721 < 3736\).
- Таким образом, наибольшее возможное значение для \(a\) и \(b\) равно 61.
7. Подставим найденные значения \(a = 61\) и \(b = 61\) обратно в уравнение \(ab + a + b = 3736\) и решим это уравнение:
- \(61 \cdot 61 + 61 + 61 = 3736\).
- \(3721 + 61 + 61 = 3736\).
- \(3743 = 3736\).
- Получили противоречие, поэтому значения \(a = 61\) и \(b = 61\) не подходят.
8. Подставим значения ближайших меньших квадратов натуральных чисел и продолжим этот процесс, пока не найдем подходящие значения:
- Попробуем \(a = 60\) и \(b = 60\).
- \(60 \cdot 60 + 60 + 60 = 3660\).
- Данное значение меньше 3736, поэтому данная пара \((x, y)\) удовлетворяет уравнению.
9. Нашли одно подходящее значение \((a, b) = (60, 60)\), но нам требуется найти значения для переменных \(x\) и \(y\). Вернемся к исходной системе уравнений \(a = x^2\) и \(b = y^2\).
10. Найдем корни квадратные из \(a = 60\) и \(b = 60\):
- \(x = \sqrt{60} \approx 7.74597\).
- \(y = \sqrt{60} \approx 7.74597\).
11. Округлим найденные значения \(\sqrt{60}\) до ближайших натуральных чисел:
- \(x = 8\).
- \(y = 8\).

Таким образом, решением данного уравнения \(x^2y^2 + x^2 + y^2 = 3736\) является пара натуральных чисел \((x, y) = (8, 8)\).