Каковы возможные значения суммы номеров страниц на выбранных подряд 25 листах из книги, состоящей из 200 страниц?

Чтобы определить возможные значения суммы номеров страниц на выбранных подряд 25 листах из книги, состоящей из 200 страниц, мы можем использовать арифметическую прогрессию.

Общая формула для суммы арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

\[ S = \frac{n}{2} \cdot (a + b) \]

где \( S \) - сумма, \( n \) - количество членов прогрессии, \( a \) - первый член прогрессии, \( b \) - последний член прогрессии.

В данной задаче, количество листов равно 25. Так как номера страниц идут подряд, первый лист в выбранных 25 листах находится на странице с номером \( x \), а последний лист находится на странице с номером \( x + 24 \). Поэтому, первый член прогрессии \( a = x \), а последний член \( b = x + 24 \).

Теперь нам нужно определить значения \( x \), которые лежат в пределах от 1 до 176, чтобы выбранные листы находились внутри книги, состоящей из 200 страниц.

Мы можем составить уравнение и решить его, чтобы найти допустимые значения \( x \):

\[
\begin{align*}
1 \leq & x \leq 176 \\
1 \leq & x \\
x \leq & 176 \\
x + 24 \leq & 200
\end{align*}
\]

Решив это уравнение, мы увидим, что допустимые значения для \( x \) могут быть в диапазоне от 1 до 176.

Следовательно, возможные значения суммы номеров страниц на выбранных подряд 25 листах из книги, состоящей из 200 страниц, будут находиться в пределах от \( 1 + 2 + 3 + \ldots + 25 \) до \( 176 + 177 + 178 + \ldots + 200 \).

Для удобства расчетов мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

\[
S = \frac{n}{2} \cdot (a + b)
\]

где \( n = 25 \), \( a = 1 \) (сумма первых 25 натуральных чисел), а \( b = 200 \) (сумма последних 25 натуральных чисел).

Теперь выполним вычисления:

\[
\begin{align*}
S &= \frac{25}{2} \cdot (1 + 200) \\
&= \frac{25}{2} \cdot 201 \\
&= 25 \cdot 1005 \\
&= 25125
\end{align*}
\]

Таким образом, возможные значения суммы номеров страниц на выбранных подряд 25 листах из книги, состоящей из 200 страниц, будут лежать в диапазоне от 325 до 25125.