1. Какой объём шара, который вписан в пирамиду с основанием равным 10v3 и боковой гранью, образующей угол 60 градусов

Хорошо, я рассчитаю каждую задачу по порядку и дам максимально подробные объяснения для каждого шага.

1. Для этой задачи нам понадобятся знания о вписанном шаре и пирамиде. Первым делом найдем высоту пирамиды.
Для этого воспользуемся тригонометрией. Из условия задачи известно, что боковая грань пирамиды образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза соответствует радиусу вписанного шара, а одна из катетов - высоте пирамиды. Получается, что \(\sin(60^\circ) = \frac{{h}}{{r}}\), где \(h\) - высота пирамиды, а \(r\) - радиус вписанного шара. Подставим значения и решим уравнение:
\(\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{{h}}{{r}}\)
Теперь найдем длину ребра пирамиды. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными половине стороны основания пирамиды и высоте пирамиды, можно записать следующее уравнение:
\((5\sqrt{3}/2)^2 + h^2 = r^2\)
Подставим значение \(h\) получившееся из предыдущего уравнения и решим уравнение:
\(75/4 + h^2 = r^2\)
Так как радиус вписанного шара это половина стороны основания, то \(r = 10\sqrt{3}/2\). Подставим и решим уравнение:
\(75/4 + h^2 = (10\sqrt{3}/2)^2\)
\(75/4 + h^2 = 75/4\)
Отсюда видим что \(h^2 = 0\), таким образом \(h = 0\), пирамида имеет нулевую высоту и, следовательно, объем шара, вписанного в эту пирамиду, будет равен нулю.

2. В данной задаче нам дается информация о вписанной в шар треугольной призме, высота которой вдвое больше стороны основания. Первым делом найдем высоту призмы. Для этого разделим заданный объем призмы на площадь основания призмы. Обозначим сторону основания через \(a\), тогда площадь основания будет равна \(S = \frac{{a^2\sqrt{3}}}{4}\). Подставим значения и решим уравнение:
\(27 = \frac{{a^2\sqrt{3}}}{4}\)
Теперь найдем высоту призмы. У нас есть информация, что высота вдвое больше стороны основания (\(h = 2a\)), поэтому:
\(h = 2a\)
Подставим значения и решим уравнение:
\(h = 2\sqrt{27}\)
Упростим:
\(h = 2 \cdot 3\sqrt{3}\)
\(h = 6\sqrt{3}\)
Теперь мы знаем высоту и сторону основания призмы. Чтобы найти радиус вписанного шара, воспользуемся формулой для объема шара:
\(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3\)
Подставим известные значения:
\(\frac{4}{3} \pi r^3 = 27\)
Решим уравнение относительно радиуса \(r\):
\(r^3 = \frac{27 \cdot 3}{4\pi}\)
\(r^3 = \frac{81}{4\pi}\)
\(r = \sqrt[3]{\frac{81}{4\pi}}\)
Таким образом, объем шара будет равен \(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi (\sqrt[3]{\frac{81}{4\pi}})^3\).

3. В данной задаче нам дана информация о конусе, в котором вписан шар, и известен объем конуса. Чтобы найти объем вписанного шара, нам нужно найти радиус и высоту шара. Для начала определим радиус и высоту конуса. Обозначим радиус конуса через \(R\), а высоту через \(H\). Тогда объем конуса можно найти по формуле \(V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H\). Подставим значение объема и решим уравнение относительно \(R^2 H\):
\(V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H\)
Теперь найдем коэффициент проникновения шара в конус. Обозначим его через \(k\). Тогда \(k = \frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{конуса}}}\). Подставим в данную формулу значение объема шара и рассчитаем \(k\):
\[k = \frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{конуса}}}\]
Чтобы найти объем шара, раскроем формулу для \(k\) и решим ее относительно \(V_{\text{шара}}\):
\[V_{\text{шара}} = k \cdot V_{\text{конуса}}\]
\[V_{\text{шара}} = k \cdot \frac{1}{3}\pi R^2 H\]
Таким образом, объем шара равен \(V_{\text{шара}} = k \cdot \frac{1}{3}\pi R^2 H\).