Каковы условия для существования только одной общей точки у графика функции у = х|х| + |х|

Для определения условий, при которых график функции \(y = x|x| + |x|\) имеет только одну общую точку, мы должны рассмотреть процесс ее построения.

Давайте начнем с анализа каждой части данной функции по отдельности. Функция содержит два модуля, поэтому мы будем рассматривать случаи, когда значение аргумента принадлежит различным интервалам.

1. Рассмотрим первый модуль \(x|x|\). Здесь есть две возможности, в зависимости от значения \(x\):

a) Если \(x\) положительно или равно нулю (\(x \geq 0\)), то \(|x| = x\), и функция \(x|x|\) будет иметь вид \(y = x \cdot x = x^2\), так как произведение положительных чисел дает положительное значение.

b) Если \(x\) отрицательно (\(x < 0\)), то \(|x| = -x\), и функция \(x|x|\) будет иметь вид \(y = x \cdot (-x) = -x^2\), так как произведение положительного и отрицательного чисел дает отрицательное значение.

2. Теперь рассмотрим второй модуль \(|x|\). Вне зависимости от значения \(x\), модуль \(|x|\) всегда будет давать положительное значение \(x\), так как он "отбрасывает" знак, оставляя только абсолютное значение.

Теперь объединим эти два случая в функцию \(y = x|x| + |x|\).

1) Если \(x \geq 0\), то \(y = x^2 + x\).
2) Если \(x < 0\), то \(y = -x^2 + x\).

Чтобы найти точки пересечения графиков двух функций, нам нужно приравнять их выражения:

1) \(x^2 + x = -x^2 + x\).
2) \(2x^2 = 0\).

Из этого уравнения видно, что график имеет только одну общую точку, когда \(x = 0\).

Таким образом, условие для существования только одной общей точки для графика функции \(y = x|x| + |x|\) - это \(x = 0\).