Каковы свойства параллелограмма и как доказать одно из них? Что говорит теорема о средней линии треугольника? Если

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны по длине. Это означает, что AB = CD и AD = BC.

2. Противоположные углы параллелограмма равны. Отсюда следует, что ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.

3. Сумма углов параллелограмма равна 360 градусов. Зная, что ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°, можно убедиться в этом свойстве.

4. Диагонали параллелограмма делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Следовательно, AC = BD и AC ⊥ BD.

Доказательство одного из свойств параллелограмма, например, свойства о противоположных сторонах:

Дано: Параллелограмм ABCD.
Доказать: AB = CD.

В нашем случае рассмотрим параллелограмм ABCD, где сторона AD будет базовой.

Шаг 1: Предположим, что сторона AB не равна стороне CD.

Шаг 2: Рассмотрим уголы параллелограмма: ∠A и ∠C.

Шаг 3: Следовательно, из свойства о равности противоположных углов параллелограмма, ∠A = ∠C.

Шаг 4: Если ∠A = ∠C, то уголы при основании AD и BC также равны.

Шаг 5: Из свойства о равности углов при основании равнобедренных треугольников, BD = AD.

Шаг 6: Но по условию, AB ≠ CD, а значит, BD ≠ AD.

Шаг 7: Получили противоречие, исходная гипотеза была ошибочной.

Наше предположение было неверным, и, следовательно, AB = CD. Таким образом, мы доказали свойство о равности противоположных сторон параллелограмма.

Теорема о средней линии треугольника:

Теорема гласит, что средняя линия треугольника параллельна и равна половине основания треугольника. Если треугольник ABC имеет среднюю линию DE, то DE || BC и DE = 0.5*BC.

Данное свойство можно доказать следующим образом:

Доказательство теоремы о средней линии:

Дано: Треугольник ABC с основанием BC и средней линией DE.
Доказать: DE || BC и DE = 0.5*BC.

Шаг 1: Проведем среднюю линию DE треугольника ABC, так что точка D лежит на AB, а точка E - на AC.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник ABC и треугольник ADE.

Шаг 3: Из свойства главного угла и его дополнения следует, что ∠BAC = ∠CDE.

Шаг 4: Также, ∠ACB = ∠ADE.

Шаг 5: Зная, что треугольник ABC и треугольник ADE имеют две пары равных углов, мы можем заключить, что они подобны.

Шаг 6: Отсюда следует, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны.

Шаг 7: Поскольку точка D находится на AB, a точка E - на AC, мы можем сделать вывод, что DE || BC.

Шаг 8: Также, по свойству пропорциональности, отношение длины DE к длине BC равно отношению площадей треугольников ADE и ABC.

Шаг 9: Поскольку треугольники подобны, отношение сторон равно квадрату отношения их высот.

Шаг 10: В треугольнике ABC, высота, опущенная из вершины A на BC, равна 2*DE (так как она является средней линией).

Шаг 11: Отсюда следует, что отношение площадей ADE и ABC равно \(\frac{(0.5*BC)^2}{BC^2} = 0.25\).

Шаг 12: Таким образом, DE = 0.5*BC, что и требовалось доказать.

Вернемся к остальным вопросам после сделавшегося доказательства.