У куба ABCDA1B1C1D1 длиной ребра 1 единица измерения. На ребре A1D1 находится точка M таким образом, что A1M:MD1=1:2

Давайте решим задачу. Нам дан куб ABCDA1B1C1D1, а также точка M на ребре A1D1, удовлетворяющая соотношению A1M:MD1=1:2. Мы хотим найти синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D).

По условию задачи, ребро куба имеет длину 1 единицу измерения. При этом, так как A1M:MD1=1:2, мы можем представить A1M в виде AM/3 и MD1 в виде 2AM/3, где AM - неизвестная длина.

Для начала, давайте найдем длину AM. Мы знаем, что AM + MD1 = A1D1 = 1 единица. Подставляя соотношение AM/3 и 2AM/3, получаем:

AM/3 + 2AM/3 = 1

Упрощая выражение:

3AM/3 = 1

Теперь можем решить это уравнение:

AM = 1

Таким образом, длина AM равна 1 единице.

Для нахождения синуса угла ϕ нам необходимо знать значения стороны, противолежащей этому углу, и гипотенузы треугольника AMB, где М - точка на ребре A1D1, B - вершина куба.

Так как мы знаем, что длина ребра куба равна 1, гипотенуза AMB будет равна длине диагонали грани куба, то есть \(\sqrt{2}\) единиц.

Для нахождения стороны, противолежащей углу ϕ, мы можем использовать теорему синусов. В нашем случае, это сторона AB.

Согласно теореме синусов:

\(\sin(\phi) = \frac{AB}{AMB}\)

Подставляя значения:

\(\sin(\phi) = \frac{AB}{\sqrt{2}}\)

Теперь нам нужно найти значение стороны AB. Мы можем обратиться к задаче: сторона куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину 1 единицу измерения.

Таким образом, AB = 1.

Возвращаясь к формуле синуса:

\(\sin(\phi) = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Ответ: Синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) равен \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)