Каковы шансы того, что студент ответит на все три вопроса, если он знает 25 вопросов из 35 и ему задают три случайных

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой условной вероятности.

Предположим, что событие \(A\) - это ответ студента на все три заданных вопроса, а событие \(B\) - это то, что студент знает 25 вопросов из 35.

Тогда вероятность события \(A\) при условии события \(B\) определяется формулой условной вероятности:

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Вероятность ответить на все три вопроса, если студент знает 25 вопросов из 35, равна отношению числа комбинаций, благоприятствующих наступлению обоих событий \(A\) и \(B\), к числу комбинаций, благоприятствующих наступлению события \(B\).

Число комбинаций благоприятствующих наступлению события \(B\) равно числу способов выбрать 25 вопросов из 35, что можно выразить формулой:

\[C_{35}^{25} = \frac{35!}{25!(35-25)!}\]

Число комбинаций благоприятствующих наступлению обоих событий \(A\) и \(B\) равно числу способов выбрать 3 вопроса из 35, так как студент должен ответить на все три вопроса, что можно выразить формулой:

\[C_{35}^{3} = \frac{35!}{3!(35-3)!}\]

Таким образом, вероятность ответа студента на все три вопроса при условии, что он знает 25 вопросов из 35, равна:

\[P(A|B) = \frac{C_{35}^{3}}{C_{35}^{25}}\]

\[P(A|B) = \frac{\frac{35!}{3!(35-3)!}}{\frac{35!}{25!(35-25)!}}\]

\[P(A|B) = \frac{\frac{35 \cdot 34 \cdot 33}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}}\]

\[P(A|B) = \frac{1}{\frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}}\]

\[P(A|B) = \frac{1}{\frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}{26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}}\]

\[P(A|B) = \frac{1}{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}\]

Подсчитав данное выражение, мы получим окончательный ответ на вопрос: каковы шансы того, что студент ответит на все три вопроса, если он знает 25 вопросов из 35 и ему задают три случайных вопроса?