Каковы решения системы уравнений ху=24 и (у-2)(х+1)=20?

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод уравнений в уравнения. Давайте выберем метод уравнений в уравнения.

Первое уравнение данной системы: \(xy = 24\). Мы можем решить его относительно одной переменной и затем подставить найденное значение во второе уравнение.

Для этого мы можем выразить \(x\) через \(y\) из первого уравнения. Делаем это, разделив обе части уравнения на \(y\):

\[x = \frac{24}{y}\]

Теперь мы можем подставить это значение во второе уравнение и решить его:

\((y-2)(\frac{24}{y}+1)=20\)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[24 + y - \frac{48}{y} - 2 = 20\]

Соберем все члены с \(y\) в одну часть и все числовые значения в другую часть:

\[y - \frac{48}{y} = 20 - 24 + 2\]

\[y - \frac{48}{y} = -2\]

Удобнее решать это квадратное уравнение, умножая обе части на \(y\):

\[y^2 - 48 = -2y\]

Перенесем все члены в одну часть уравнения:

\[y^2 + 2y - 48 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию, полную квадратность или формулу дискриминанта.

Решим этот квадратный трёхчлен по формуле дискриминанта:

Дискриминант \(D\) квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В данном случае у нас \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = -48\), поэтому:

\[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)\]
\[D = 4 + 192\]
\[D = 196\]

Так как дискриминант является положительным числом, у нас есть два различных корня.

Теперь воспользуемся формулами для нахождения корней:

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 + 14}{2} = 6\]

\[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 - 14}{2} = -8\]

У нас получились два различных значения для \(y\). Теперь мы можем подставить каждое значение \(y\) в первое уравнение и найти соответствующие значения \(x\).

Когда \(y = 6\):
\[x = \frac{24}{6} = 4\]

Когда \(y = -8\):
\[x = \frac{24}{-8} = -3\]

Итак, решения системы уравнений \(xy = 24\) и \((y-2)(x+1) = 20\) равны \(x = 4, y = 6\) и \(x = -3, y = -8\).