Каковы решения системы уравнений ху=24 и (у-2)(х+1)=20?

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод уравнений в уравнения. Давайте выберем метод уравнений в уравнения.

Первое уравнение данной системы: $xy=24$. Мы можем решить его относительно одной переменной и затем подставить найденное значение во второе уравнение.

Для этого мы можем выразить $x$ через $y$ из первого уравнения. Делаем это, разделив обе части уравнения на $y$:

$$x=\frac{24}{y}$$

Теперь мы можем подставить это значение во второе уравнение и решить его:

$(y-2)(\frac{24}{y}+1)=20$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$24+y-\frac{48}{y}-2=20$$

Соберем все члены с $y$ в одну часть и все числовые значения в другую часть:

$$y-\frac{48}{y}=20-24+2$$

$$y-\frac{48}{y}=-2$$

Удобнее решать это квадратное уравнение, умножая обе части на $y$:

$$y^2-48=-2y$$

Перенесем все члены в одну часть уравнения:

$$y^2+2y-48=0$$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию, полную квадратность или формулу дискриминанта.

Решим этот квадратный трёхчлен по формуле дискриминанта:

Дискриминант $D$ квадратного трехчлена $a{x}^2+bx+c$ вычисляется по формуле $D=b^2-4ac$.

В данном случае у нас $a=1$, $b=2$ и $c=-48$, поэтому:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-48)$$
$$D=4+192$$
$$D=196$$

Так как дискриминант является положительным числом, у нас есть два различных корня.

Теперь воспользуемся формулами для нахождения корней:

$$y_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2+\sqrt{196}}{2}=\frac{-2+14}{2}=6$$

$$y_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2-\sqrt{196}}{2}=\frac{-2-14}{2}=-8$$

У нас получились два различных значения для $y$. Теперь мы можем подставить каждое значение $y$ в первое уравнение и найти соответствующие значения $x$.

Когда $y=6$:
$$x=\frac{24}{6}=4$$

Когда $y=-8$:
$$x=\frac{24}{-8}=-3$$

Итак, решения системы уравнений $xy=24$ и $(y-2)(x+1)=20$ равны $x=4,y=6$ и $x=-3,y=-8$.