Каковы решения неравенства 8*((3^(x-2)-1)/(3^x-2^x))< 1+(2/3)^x?

Давайте решим данное неравенство пошагово.

1. Начнем с приведения неравенства к общему знаменателю. Для этого умножим обе части неравенства на \(3^x - 2^x\):

\[8 \cdot \frac{{3^{x-2} - 1}}{{3^x - 2^x}} \cdot (3^x - 2^x) < (1 + \frac{2}{3})^x \cdot (3^x - 2^x)\]

2. Упростим правую часть неравенства:

\[(1 + \frac{2}{3})^x \cdot (3^x - 2^x) = (\frac{5}{3})^x \cdot (1\cdot3^x - 2^x) = \frac{5^x \cdot 3^x - 2^x \cdot 5^x}{3^x}\]

3. Упростим также левую часть неравенства:

\[8 \cdot \frac{{3^{x-2} - 1}}{{3^x - 2^x}} \cdot (3^x - 2^x) = 8 \cdot (3^{x-2} - 1) = 8 \cdot 3^{x-2} - 8\]

4. Подставим полученные значения обратно в неравенство:

\[8 \cdot 3^{x-2} - 8 < \frac{5^x \cdot 3^x - 2^x \cdot 5^x}{3^x}\]

5. Разделим обе части неравенства на \(3^x\):

\[\frac{8 \cdot 3^{x-2} - 8}{3^x} < \frac{5^x \cdot 3^x - 2^x \cdot 5^x}{3^{2x}}\]

6. Упростим числители:

\[\frac{8 \cdot (3^{x-2} - 1)}{3^x} < \frac{5^x \cdot 3^x - 2^x \cdot 5^x}{3^{2x}}\]

7. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

\[\frac{8 \cdot 3^{x-2} - 8}{3^x} < \frac{5^x \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x}{3^{2x}}\]

8. Упростим числитель дроби в левой части неравенства:

\[\frac{8 \cdot 3^{x-2} - 8}{3^x} = \frac{8 \cdot 3^{x-2}}{3^x} - \frac{8}{3^x} = \frac{8}{3^2} \cdot \frac{3^{x-2}}{3^{x-2+2}} - \frac{8}{3^x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3^2} - \frac{8}{3^x}\]

9. Упростим числитель дроби в правой части неравенства:

\[\frac{5^x \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x}{3^{2x}} = \frac{5^x \cdot 3^x}{3^{2x}} - \frac{2 \cdot 5^x}{3^{2x}} = \frac{5^x}{3^x} - \frac{2 \cdot 5^x}{3^{2x}}\]

10. Подставим упрощенные значения обратно в неравенство:

\[\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3^2} - \frac{8}{3^x} < \frac{5^x}{3^x} - \frac{2 \cdot 5^x}{3^{2x}}\]

11. Упростим числители и знаменатели дробей:

\[\frac{8}{9 \cdot 9} - \frac{8}{3^x} < \frac{5^x}{3^x} - \frac{2 \cdot 5^x}{3^{2x}}\]

\[\frac{8}{81} - \frac{8}{3^x} < \frac{5^x}{3^x} - \frac{2 \cdot 5^x}{3^{2x}}\]

12. Найдем общий знаменатель дробей в обоих частях неравенства. Общим знаменателем будет \(3^x \cdot 3^{2x} = 3^{3x}\):

\[\frac{8}{81} \cdot 3^{3x} - \frac{8}{3^x} \cdot 3^{3x} < \frac{5^x}{3^x} \cdot 3^{3x} - \frac{2 \cdot 5^x}{3^{2x}} \cdot 3^{3x}\]

13. Упростим числители дробей:

\[\frac{8}{81} \cdot 3^{3x} - \frac{8}{3^x} \cdot 3^{3x} = \frac{8 \cdot 3^{3x}}{81} - \frac{8 \cdot 3^{2x+x}}{3^x}\]

\[\frac{5^x}{3^x} \cdot 3^{3x} - \frac{2 \cdot 5^x}{3^{2x}} \cdot 3^{3x} = \frac{5^x \cdot 3^{3x}}{3^x} - \frac{2 \cdot 5^x \cdot 3^{2x}}{3^{2x}}\]

14. Подставим полученные значения обратно в неравенство:

\[\frac{8 \cdot 3^{3x}}{81} - \frac{8 \cdot 3^{2x+x}}{3^x} < \frac{5^x \cdot 3^{3x}}{3^x} - \frac{2 \cdot 5^x \cdot 3^{2x}}{3^{2x}}\]

15. Упростим числители и знаменатели дробей:

\[\frac{8 \cdot 3^{3x}}{3^4} - \frac{8 \cdot 3^{3x}}{3^x} < \frac{5^x \cdot 3^{3x}}{3^x} - \frac{2 \cdot 5^x \cdot 3^{2x}}{3^{2x}}\]

\[\frac{8 \cdot 3^{3x}}{81} - \frac{8 \cdot 3^{2x+x}}{3^x} < \frac{5^x \cdot 3^{3x}}{3^x} - \frac{2 \cdot 5^x \cdot 3^{2x}}{3^{2x}}\]

16. Продолжим упрощение:

\[\frac{8 \cdot 3^{3x}}{81} - \frac{8 \cdot 3^{3x}}{3^x} < \frac{5^x \cdot 3^{3x}}{3^x} - \frac{2 \cdot 5^x}{3^{x-2}}\]

17. Умножим обе части неравенства на \(\frac{81}{3^{3x}}\) для избавления от дробей:

\[\frac{8 \cdot \cancel{3^{3x}}}{\cancel{81}} \cdot \frac{\cancel{81}}{3^{3x}} - \frac{8 \cdot \cancel{3^{3x}}}{3^x} \cdot \frac{\cancel{81}}{3^{3x}} < \frac{5^x \cdot \cancel{3^{3x}}}{\cancel{3^x}} \cdot \frac{\cancel{81}}{3^{3x}} - \frac{2 \cdot 5^x}{3^{x-2}} \cdot \frac{\cancel{81}}{\cancel{3^{3x}}}\]

Это далее