Каковы размеры прямоугольной площадки, которую нужно огородить решеткой длиной 120 м, чтобы она имела наибольшую

Чтобы найти размеры прямоугольной площадки с наибольшей площадью, ограниченной решеткой длиной 120 м, мы можем использовать метод нахождения экстремумов функции. В данном случае функция, которую мы хотим максимизировать, - это площадь прямоугольной площадки.

Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) м, а другая сторона равна \(y\) м. Тогда площадь \(S\) этой прямоугольной площадки будет равна \(S = x \cdot y\).

Также нам дано, что периметр прямоугольника должен быть равен 120 м. Это означает, что \(2x + 2y = 120\).

Мы можем решить эту систему уравнений для \(x\) и \(y\), используя метод подстановки. Решая второе уравнение относительно \(y\), получаем \(y = 60 - x\). Подставим это значение в первое уравнение, чтобы выразить площадь через \(x\) только: \(S = x \cdot (60 - x)\).

Теперь мы можем найти экстремумы этой функции, чтобы определить, при каких значениях \(x\) площадь будет максимальной. Для этого найдем производную функции площади \(S"\):

\[
S" = 60 - 2x
\]

Теперь приравняем \(S"\) к нулю, чтобы найти критические точки:

\[
60 - 2x = 0
\]

Решая это уравнение относительно \(x\), получаем \(x = 30\).

Итак, критическая точка \(x = 30\) соответствует максимальной площади. Подставим это значение обратно в уравнение для нахождения \(y\):

\[
y = 60 - x = 60 - 30 = 30
\]

Таким образом, размеры прямоугольной площадки с наибольшей площадью, ограниченной решеткой длиной 120 м, составляют 30 м на 30 м.