Каковы различия между разными антипроизводными функциями для функции f(x)?

Когда мы говорим о различных антипроизводных функций для функции \(f(x)\), мы обычно говорим о том, что это функции, производная которых равна \(f(x)\). При этом, у каждой функции может быть бесконечное количество антипроизводных.

Различные антипроизводные функции для функции \(f(x)\) отличаются друг от друга на константу. То есть, если \(F_1(x)\) является одной из антипроизводных функций для \(f(x)\), то любая функция вида \(F(x) = F_1(x) + C\), где \(C\) - произвольная постоянная, также будет являться антипроизводной функцией для \(f(x)\).

Давайте рассмотрим это на примере. Предположим, у нас есть функция \(f(x) = 3x^2\). Чтобы найти антипроизводную этой функции, мы должны найти функцию, производная которой равна \(3x^2\).

Продифференцируем функцию \(F(x) = x^3\), чтобы убедиться, что она является антипроизводной функцией для \(f(x)\):
\[
\frac{d}{dx} (x^3) = 3x^2 = f(x)
\]
Таким образом, функция \(F(x) = x^3\) является одной из антипроизводных функций для \(f(x)\).

Однако, не забывайте, что антипроизводная функция является семейством функций, выраженных с помощью постоянной \(C\). Если мы добавим некоторую постоянную \(C\) к нашей антипроизводной функции \(F(x) = x^3\), мы получим другую антипроизводную функцию для \(f(x)\). Например, функции \(F(x) = x^3 + 2\) и \(F(x) = x^3 - 5\) также являются антипроизводными функциями для \(f(x)\).

Таким образом, основное различие между разными антипроизводными функциями для функции \(f(x)\) заключается в значениях постоянных \(C\).