Каковы различия между разными антипроизводными функциями для функции f(x)?

Question

Математика: Каковы различия между разными антипроизводными функциями для функции f(x)?

Кобра · Accepted Answer

Когда мы говорим о различных антипроизводных функций для функции

f (x)

, мы обычно говорим о том, что это функции, производная которых равна

f (x)

. При этом, у каждой функции может быть бесконечное количество антипроизводных.

Различные антипроизводные функции для функции

f (x)

отличаются друг от друга на константу. То есть, если

F_{1} (x)

является одной из антипроизводных функций для

f (x)

, то любая функция вида

F (x) = F_{1} (x) + C

, где

C

- произвольная постоянная, также будет являться антипроизводной функцией для

f (x)

.

Давайте рассмотрим это на примере. Предположим, у нас есть функция

f (x) = 3 x^{2}

. Чтобы найти антипроизводную этой функции, мы должны найти функцию, производная которой равна

3 x^{2}

.

Продифференцируем функцию

F (x) = x^{3}

, чтобы убедиться, что она является антипроизводной функцией для

f (x)

:

\frac{d}{d x} (x^{3}) = 3 x^{2} = f (x)

Таким образом, функция

F (x) = x^{3}

является одной из антипроизводных функций для

f (x)

.

Однако, не забывайте, что антипроизводная функция является семейством функций, выраженных с помощью постоянной

C

. Если мы добавим некоторую постоянную

C

к нашей антипроизводной функции

F (x) = x^{3}

, мы получим другую антипроизводную функцию для

f (x)

. Например, функции

F (x) = x^{3} + 2

и

F (x) = x^{3} - 5

также являются антипроизводными функциями для

f (x)

.

Таким образом, основное различие между разными антипроизводными функциями для функции

f (x)

заключается в значениях постоянных

C

.