Каковы площади боковой и полной поверхности прямой призмы, основанием которой служит трапеция АВСК с АВ равным 7см

Давайте начнем с расчета площади боковой поверхности прямой призмы. Боковая поверхность прямой призмы представляет собой прямоугольник, площадь которого вычисляется как произведение периметра основания и высоты призмы.

Для начала нам понадобится найти длины сторон трапеции АВСК. Из условия задачи мы знаем, что АВ равно 7 см и АК равно 3 см. Для определения длины стороны ВС воспользуемся теоремой Пифагора, так как известны два катета: АК и ВК (где К это точка пересечения диагоналей трапеции).

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенузой является ВК, поэтому применим теорему Пифагора следующим образом:

\[ВК^2 = АК^2 + АВ^2 - 2 \cdot АК \cdot АВ \cdot \cos(\angle А)\]
\[ВК^2 = 3^2 + 7^2 - 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \cos(90°)\]
\[ВК^2 = 9 + 49 - 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 0\]
\[ВК^2 = 58\]
\[ВК = \sqrt{58}\]

Теперь, чтобы найти длины параллельных сторон основания трапеции, нам осталось только использовать углы треугольника. Из условия задачи мы знаем, что \(\angle В = 60°\). Так как углы при основании трапеции равны, получаем, что \(\angle С = 60°\).

Теперь мы можем приступить к расчету периметра основания трапеции:

\[Периметр = АВ + ВС + СК + АК\]
\[Периметр = 7 + \sqrt{58} + 7 + 3 = 10 + \sqrt{58}\]

По определению площади прямоугольника, получаем:

\[Площадь\,боковой\,поверхности = Периметр \times высота\]

Теперь нам нужно найти высоту прямой призмы. Обратите внимание, что высота призмы является высотой боковой грани, которая в нашем случае проходит перпендикулярно основанию трапеции.

Давайте назовем эту высоту "h". Зная, что \(\angle А = 90°\), мы можем применить тригонометрический синус в прямоугольном треугольнике АКМ (где М это точка пересечения перпендикуляра, проведенного из точки К, и стороны АВ).

Тригонометрический синус утверждает, что отношение длины противоположенного катета (в нашем случае это "h") к длине гипотенузы (в нашем случае это "АК") равно синусу угла, образованного этими сторонами.

Мы можем записать это следующим образом:

\[\sin(\angle А) = \frac{h}{АК}\]

Так как \(\sin(90°)\) равен 1, получаем:

\[1 = \frac{h}{3}\]
\[h = 3\]

Таким образом, высота призмы равна 3 см.

Теперь, подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:

\[Площадь\,боковой\,поверхности = (10 + \sqrt{58}) \times 3\]
\[Площадь\,боковой\,поверхности \approx (10 + 7.61) \times 3\]
\[Площадь\,боковой\,поверхности \approx 17.61 \times 3\]
\[Площадь\,боковой\,поверхности \approx 52.83\,см^2\]

Теперь, перейдем к вычислению полной поверхности прямой призмы. Полная поверхность прямой призмы состоит из боковой поверхности и двух оснований.

Площадь каждого основания прямой призмы равна площади трапеции. Для расчета площади трапеции, нам необходимо знать ее высоту. Заметим, что высота трапеции равна высоте призмы, которую мы уже рассчитали и она равна 3 см.

Теперь, расчитаем площадь трапеции:

\[Площадь\,трапеции = \frac{(АВ + СК) \times h}{2}\]
\[Площадь\,трапеции = \frac{(7 + 7) \times 3}{2}\]
\[Площадь\,трапеции = \frac{14 \times 3}{2}\]
\[Площадь\,трапеции = 21\,см^2\]

Так как в прямой призме у нас два одинаковых основания, полная площадь оснований будет равна:

\[Площадь\,оснований = 2 \times 21\,см^2 = 42\,см^2\]

Теперь, сложим площадь боковой поверхности и площадь оснований, чтобы найти полную поверхность:

\[Полная\,поверхность = Площадь\,боковой\,поверхности + Площадь\,оснований\]
\[Полная\,поверхность = 52.83\,см^2 + 42\,см^2\]
\[Полная\,поверхность \approx 94.83\,см^2\]

Итак, площадь боковой поверхности прямой призмы составляет примерно 52.83 квадратных сантиметра, а полная поверхность прямой призмы составляет примерно 94.83 квадратных сантиметра.