Каковы периоды колебаний двух маятников с длинами l1 = 10 см и l2 = 20 см, если угловые скорости колебаний одинаковы?

Для решения этой задачи, нам понадобятся формулы, связанные с колебаниями маятника.

Период колебания маятника зависит только от его длины и ускорения свободного падения, которое принято равным $g\approx 9,8{\text{м/с}}^2$. Формула для расчета периода колебания маятника выглядит следующим образом:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Где $T$ - период колебания маятника, $\pi$ - математическая константа (приближенно равная 3,14), $l$ - длина маятника и $g$ - ускорение свободного падения.

Теперь рассмотрим два маятника с длинами $l_1=10$ см и $l_2=20$ см, при условии, что угловые скорости колебаний одинаковы. Поскольку угловые скорости колебаний одинаковы, можно сказать, что ${\omega }_1={\omega }_2$, где ${\omega }_1$ - угловая скорость первого маятника, а ${\omega }_2$ - угловая скорость второго маятника.

Теперь используем формулу периода колебания маятника для каждого маятника:

Для первого маятника с длиной $l_1=10$ см:

$$T_1=2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{0.1\text{м}}{9.8{\text{м/с}}^2}}$$

Для второго маятника с длиной $l_2=20$ см:

$$T_2=2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{0.2\text{м}}{9.8{\text{м/с}}^2}}$$

Вычисляем значения периодов колебаний:

$$T_1=2\pi \sqrt{\frac{0.1}{9.8}}\approx 0.636\text{с}$$
$$T_2=2\pi \sqrt{\frac{0.2}{9.8}}\approx 0.899\text{с}$$

Таким образом, период колебания первого маятника примерно равен 0.636 секунды, а период колебания второго маятника примерно равен 0.899 секунды.

Теперь давайте посмотрим на отношение их энергий. Если массы шариков одинаковы, то энергия каждого маятника будет определяться его кинетической энергией и потенциальной энергией. Формула для вычисления кинетической энергии маятника:

$$E_{\text{кин}}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

Где $E_{\text{кин}}$ - кинетическая энергия, $m$ - масса маятника и $v$ - скорость маятника.

Поскольку у маятников одинаковые угловые скорости, скорости колебаний будут также одинаковыми. Таким образом, можно утверждать, что $v_1=v_2$.

Следовательно, отношение их энергий будет определяться только отношением их потенциальных энергий, которые в свою очередь зависят от длин маятников:

$$E_{\text{пот}}=m\cdot g\cdot h$$

Где $E_{\text{пот}}$ - потенциальная энергия, $m$ - масса маятника, $g$ - ускорение свободного падения и $h$ - высота, на которую поднимается маятник.

Таким образом, отношение их энергий будет равно отношению высот, на которые они поднимаются, и отношение высот будет определяться отношением их длин:

$$\frac{E_{\text{пот1}}}{E_{\text{пот2}}}=\frac{l_1}{l_2}=\frac{10}{20}=0.5$$

Отношение энергий маятников будет равно 0.5.

Итак, ответы на задачу:
- Период колебания первого маятника равен примерно 0.636 секунды, а второго маятника - примерно 0.899 секунды.
- Отношение энергий маятников равно 0.5.