Каковы периоды колебаний двух маятников с длинами l1 = 10 см и l2 = 20 см, если угловые скорости колебаний одинаковы?

Для решения этой задачи, нам понадобятся формулы, связанные с колебаниями маятника.

Период колебания маятника зависит только от его длины и ускорения свободного падения, которое принято равным \( g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2 \). Формула для расчета периода колебания маятника выглядит следующим образом:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \]

Где \( T \) - период колебания маятника, \( \pi \) - математическая константа (приближенно равная 3,14), \( l \) - длина маятника и \( g \) - ускорение свободного падения.

Теперь рассмотрим два маятника с длинами \( l_1 = 10 \) см и \( l_2 = 20 \) см, при условии, что угловые скорости колебаний одинаковы. Поскольку угловые скорости колебаний одинаковы, можно сказать, что \( \omega_1 = \omega_2 \), где \( \omega_1 \) - угловая скорость первого маятника, а \( \omega_2 \) - угловая скорость второго маятника.

Теперь используем формулу периода колебания маятника для каждого маятника:

Для первого маятника с длиной \( l_1 = 10 \) см:

\[ T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.1 \, \text{м}}{9.8 \, \text{м/с}^2}} \]

Для второго маятника с длиной \( l_2 = 20 \) см:

\[ T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.2 \, \text{м}}{9.8 \, \text{м/с}^2}} \]

Вычисляем значения периодов колебаний:

\[ T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{0.1}{9.8}} \approx 0.636 \, \text{с} \]
\[ T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{0.2}{9.8}} \approx 0.899 \, \text{с} \]

Таким образом, период колебания первого маятника примерно равен 0.636 секунды, а период колебания второго маятника примерно равен 0.899 секунды.

Теперь давайте посмотрим на отношение их энергий. Если массы шариков одинаковы, то энергия каждого маятника будет определяться его кинетической энергией и потенциальной энергией. Формула для вычисления кинетической энергии маятника:

\[ E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2 \]

Где \( E_{\text{кин}} \) - кинетическая энергия, \( m \) - масса маятника и \( v \) - скорость маятника.

Поскольку у маятников одинаковые угловые скорости, скорости колебаний будут также одинаковыми. Таким образом, можно утверждать, что \( v_1 = v_2 \).

Следовательно, отношение их энергий будет определяться только отношением их потенциальных энергий, которые в свою очередь зависят от длин маятников:

\[ E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h \]

Где \( E_{\text{пот}} \) - потенциальная энергия, \( m \) - масса маятника, \( g \) - ускорение свободного падения и \( h \) - высота, на которую поднимается маятник.

Таким образом, отношение их энергий будет равно отношению высот, на которые они поднимаются, и отношение высот будет определяться отношением их длин:

\[ \frac{E_{\text{пот1}}}{E_{\text{пот2}}} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{10}{20} = 0.5 \]

Отношение энергий маятников будет равно 0.5.

Итак, ответы на задачу:
- Период колебания первого маятника равен примерно 0.636 секунды, а второго маятника - примерно 0.899 секунды.
- Отношение энергий маятников равно 0.5.