Каковы наибольший Rmax и наименьший Rmin радиусы кривизны траектории камня, который был брошен под углом alpha

Для решения этой задачи нам понадобится применить законы движения тела в поле тяжести. Для начала вычислим время полета камня. Так как угол броска составляет 30° с горизонтом, мы можем разделить вертикальное и горизонтальное движение камня.

Для вертикального движения используем уравнение для свободного падения:
\[ S = \frac{1}{2} g t^2 ,\]
где S - расстояние, t - время полета, g - ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с^2).

Подставляя значения в это уравнение, получаем:
\[ 20 = \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2 .\]
Упростим это уравнение:
\[ 39t^2 = 20 .\]
Решим его относительно времени t:
\[ t^2 = \frac{20}{39} .\]
\[ t \approx 0,833 сек. \]

Теперь вычислим горизонтальную составляющую скорости камня. Для этого мы воспользуемся формулой для горизонтальной скорости:
\[ V_x = V \cdot \cos(\alpha) ,\]
где V - начальная скорость, \(\alpha\) - угол броска.

Так как начальная скорость по горизонтали равна горизонтальной составляющей, получаем:
\[ V_x = V \cdot \cos(\alpha) .\]
Для дальнейшего рассмотрения у нас необходимо выразить начальную скорость через время полета и горизонтальное расстояние S:
\[ S = V_x \cdot t .\]
Подставляя известные значения:
\[ 20 = V \cdot \cos(30°) \cdot 0,833 .\]
Решим это уравнение относительно V:
\[ V = \frac{20}{0,833 \cdot \cos(30°)} .\]
\[ V \approx 25,98 \, \text{м/с} .\]

Теперь мы можем рассчитать радиусы кривизны траектории камня. Сначала рассмотрим наибольший радиус кривизны Rmax.

Наибольший радиус кривизны соответствует вершине траектории, где вертикальная составляющая скорости равна нулю. Так как движение происходит только под действием гравитационной силы, вертикальная составляющая скорости будет постоянно убывающей.

Формула для радиуса кривизны R в данном случае выглядит следующим образом:
\[ R = \frac{V^2}{g} .\]

Подставляя значения, получаем:
\[ Rmax = \frac{(25,98)^2}{9,8} .\]
\[ Rmax \approx 68,53 \, \text{м} .\]

Теперь рассмотрим наименьший радиус кривизны Rmin, который соответствует точке контакта камня с землей.

Наименьший радиус кривизны можно рассчитать по формуле:
\[ Rmin = \frac{S^2}{4h} ,\]
где S - горизонтальное расстояние, h - высота точки старта относительно земли.

Так как точки старта и финиша находятся на одной горизонтальной плоскости, разности высот нет, и h равна нулю.

Подставляя значения, получаем:
\[ Rmin = \frac{(20^2)}{(4\cdot0)} .\]
\[ Rmin = \infty \, \text{(бесконечность)} .\]

Таким образом, наибольший радиус кривизны Rmax равен примерно 68,53 метра, а наименьший радиус кривизны Rmin является бесконечно большим. Это свидетельствует о том, что траектория камня является практически прямолинейным движением.